证明不可约多项式p(x)没有重根

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/28 23:29:18

证明不可约多项式p(x)没有重根

用反证法.
设p(x)是数域F上的不可约多项式.
假设a是p(x) (在复数域内)的重根,则有p(a) = 0,p'(a) = 0 (p'(x)为p(x)求导得到的多项式).
若p(x)与p'(x)互素,则存在u(x),v(x) ∈ F[x]使得u(x)p(x)+v(x)p'(x) = 1,代入x = a得0 = 1矛盾.
于是p(x)与p'(x)不互素,F[x]中存在次数不小于1的多项式d(x),使d(x) | p(x)且d(x) | p'(x).
由d(x) | p'(x),p'(x) ≠ 0,d(x)的次数 ≤ p'(x)的次数 < p(x)的次数.
因此d(x)是p(x)的非平凡的因子,与p(x)不可约矛盾.

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