已知函数f（x）满足：对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）•f（y）-f（x）-f（y）+2成立，且x＞0时，f

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/02 16:30:09

已知函数f（x）满足：对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）•f（y）-f（x）-f（y）+2成立，且x＞0时，f（x）＞2，
（1）求f（0）的值，并证明：当x＜0时，1＜f（x）＜2．
（2）判断f（x）的单调性并加以证明．
（3）若函数g（x）=|f（x）-k|在（-∞，0）上递减，求实数k的取值范围．

（1）∵f（x+y）=f（x）•f（y）-f（x）-f（y）+2令x=y=0，
f（0）=f（0）•f（0）-f（0）-f（0）+2
∴f²（0）-3f（0）+2=0，f（0）=2或 f（0）=1
若 f（0）=1
则 f（1）=f（1+0）=f（1）•f（0）-f（1）-f（0）+2=1，
与已知条件x＞0时，f（x）＞2相矛盾，∴f（0）=2 （1分）
设x＜0，则-x＞0，那么f（-x）＞2
又2=f（0）=f（x-x）=f（x）•f（-x）-f（x）-f（-x）+2
∴f(x)＝
f(−x)
f(−x)−1＝1+
1
f(−x)−1
∵f（-x）＞2
，∴0＜
1
f(−x)−1＜1，从而1＜f（x）＜2（3分）
（2）函数f（x）在R上是增函数
设x₁＜x₂则x₂-x₁＞0，∴f（x₂-x₁）＞2
f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）=f（x₂-x₁）f（x₁）-f（x₂-x₁）-f（x₁）+2
=f（x₂-x₁）[f（x₁）-1]-f（x₁）+2
∵由（1）可知对x∈R，f（x）＞1，∴f（x₁）-1＞0，又f（x₂-x₁）＞2
∴f（x₂-x₁）•[f（x₁）-1]＞2f（x₁）-2
f（x₂-x₁）[f（x₁）-1]-f（x₁）+2＞f（x₁）
即f（x₂）＞f（x₁）
∴函数f（x）在R上是增函数（3分）
（3）∵由（2）函数f（x）在R上是增函数
∴函数y=f（x）-k在R上也是增函数
若函数g（x）=|f（x）-k|在（-∞，0）上递减
则x∈（-∞，0）时，g（x）=|f（x）-k|=k-f（x）
即x∈（-∞，0）时，f（x）-k＜0，
∵x∈（-∞，0）时，f（x）＜f（0）=2，∴k≥2（3分）

已知函数f（x）满足：对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）•f（y）-f（x）-f（y）+2成立，且x＞0时，f 已知函数f（x）对于任意的x,y∈R都满足f(x+y)=f(x)+f(y),且当x＞0时f(x)＞0恒成立证明f(x) 已知函数f（x）定义域在R上的函数,且对任意的x,y都有f（x+y)=f(x)+f(y)-1成立.当x＞0时,f(x)＞已知f(x)对任意x、y（属于R）满足f(x)+f(y)=f(x+y) 且当x>0时,f(x) 已知函数y=f(x)的定义域为R,对任意x,y∈R,均有f(x+y)=f(x)+f(y),且对任意x＞0都有f（x）＜0 已知函数f（x）对任意x、y∈R,都有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x＜0时,f（x)＜0,f(1)＜－2∕3. 定义在R上的函数f(x)对任意x,y∈R都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)*f(y),且f（0）≠0,判断f（x 定义域R的的函数f(x)满足：对于任意实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y）成立,且当X＞0时f(x) 已知函数满足对任意xy属于R都有f(x+y)=f(x)*f(y)-f(x)-f(y)+2成立,且x2,证明x 定义在R上的函数f（x）满足：对于任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）-2011且当x＞0时，有f（x 定义域为R的函数f(x)满足:对于任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立,且当x>0时,f（x）函数y=f(x)的定义域为R,对任意x,y∈R,都有f（x+y）=f(x)+f(y),f(xy)=f(x)f(y)恒成立