搜搜考试网已知函数f（x）=ax+1x+2．
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/06 09:02:36
已知函数f（x）=
| ax+1 |
| x+2 |
（1）当a=1时，f(x)＝
x+1
x+2，函数f（x）在（-2，+∞）上单调递增．
下面证明：
设-2＜x1＜x2，
则f(x1)−f(x2)＝
x1+1
x1+2−
x2+1
x2+2=
x1−x2
(x1+2)(x2+2)
∵-2＜x1＜x2
∴x1-x2＜0，x1+2＞0，x2+2＞0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）
所以函数f（x）在（-2，+∞）上单调递增．
（2）设-2＜x1＜x2，
因为函数f（x）在（-2，+∞）上单调递增，
所以有f(x1)−f(x2)＝
ax1+1
x1+2−
ax2+1
x2+2=
(2a−1)(x1−x2)
(x1+2)(x2+2)＜0，
∵-2＜x1＜x2
∴x1-x2＜0，x1+2＞0，x2+2＞0，
所以2a−1＞0，即a＞
1
2，
所以实数a的取值范围是(
1
2，+∞)．
x+1
x+2，函数f（x）在（-2，+∞）上单调递增．
下面证明：
设-2＜x1＜x2，
则f(x1)−f(x2)＝
x1+1
x1+2−
x2+1
x2+2=
x1−x2
(x1+2)(x2+2)
∵-2＜x1＜x2
∴x1-x2＜0，x1+2＞0，x2+2＞0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）
所以函数f（x）在（-2，+∞）上单调递增．
（2）设-2＜x1＜x2，
因为函数f（x）在（-2，+∞）上单调递增，
所以有f(x1)−f(x2)＝
ax1+1
x1+2−
ax2+1
x2+2=
(2a−1)(x1−x2)
(x1+2)(x2+2)＜0，
∵-2＜x1＜x2
∴x1-x2＜0，x1+2＞0，x2+2＞0，
所以2a−1＞0，即a＞
1
2，
所以实数a的取值范围是(
1
2，+∞)．