A是m*n矩阵则r(A)=r(A^TA) 怎么证明

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/16 04:03:05

命题需要A是实矩阵才成立

证明:
(1)设X1是AX=0的解, 则AX1=0
所以A^TAX1=A^T(AX1)=A^T0=0
所以X1是A^TAX=0的解.
故 Ax=0 的解是 A^TAX=0 的解.

(2)设X2是A^TAX=0的解, 则A^TAX2=0
等式两边左乘 X2^T得 X2^TA^TAX2=0
所以有 (Ax2)^T(Ax2)=0
所以 AX2=0. [长度为0的实向量必为0向量, 此时用到A是实矩阵]
所以X2是AX=0的解.
故A^TAX=0的解是AX=0的解.

综上知齐次线性方程组AX=0与A^TAX=O是同解方程组.
所以它们的基础解系所含向量的个数相同
故有 r(A) = r(A^TA)

A是m*n矩阵则r(A)=r(A^TA) 怎么证明设A是m*n实矩阵,若R=（A^TA)=5,则R(A)=? 设A是m*n矩阵,B是n*m矩阵,证明:若r(A)=n,则r(AB)=r(B). 设A是m*n实矩阵,证明：R(A'A)=R(AA')=R(A) 设A为m×n实矩阵,证明r(A^T A)=r(A) 线性代数问题：A是m*n矩阵,B是n*k矩阵,若r(a*b)=r(b),证明r(a)=n 设A为实矩阵,证明r(A^TA)=r(A) 设A为n阶实矩阵,A^T为A转置矩阵,证明：R（A）=R(A^TA) 设A是m*n矩阵,B为n×s矩阵,r(A)=r＜n,且AB=0.证明：秩(B)≦n－r 设A是m×n的矩阵,B是n×p的矩阵,证明:若R(A)=n,R(AB)=R(B) 证明:设A,B是m*n矩阵,且R(A)=r1,R(B)=r2,则R(A+_B) 设A是m×n矩阵,R（A）=r,证明存在秩为r的m×n矩阵B与秩为r的r×n矩阵C,使A=BC

A是m*n矩阵 则r(A)=r(A^TA) 怎么证明

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