原题：在1,2,3,……,2008中最多可选出多少个数,使选出的数中任意两个的和都不能被3整除.

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/15 01:04:20

原题：在1,2,3,……,2008中最多可选出多少个数,使选出的数中任意两个的和都不能被3整除.
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分析：题中2008个数的归四类：
（1）能被3整除的数有（2008-1）÷3=669个：（3,6,9,...,2007）
（2）能被3整除余1的数有（2008-1）÷3=669个：（4,7,10,...,2008）
（3）能被3整除余2的数有（2008-4）÷3=668个：（5,8,11,...,2006）
（4）谁都不属的数有2个：（1,2）
以上四种类数独立分析：
二个除尽的数的和能被3整除,因此,（1）中的数不满足题的条件.
二个同余1的数的和不能被3整除,因此,（2）中的669个数满足题的条件.
二个同余2的数的和不能被3整除,因此,（3）中的668个数满足题的条件.
谁都不属的只有（1,2）二个数,但这二个数的和可以被3整除,因此,（4）中的数不满足题的条件.
以上四类数的独立分析结果是,这二类数共有669+668个数.
现在进行各类数的结合分析：
深析一：
（2）与（3）结合：一个余1与一个余2的数的和可以被3整除,这样,（2）和（3）不能并存,只能留一块舍一块,先分析留（2）669个余1的数：
（1）与（2）结合：一个除尽的数和一个余1的数的和,不能被3整除.结合前面所述,只能在（1）中任意取一个数就行了.这样,符合要求的数就应有669+1=670个.
（4）与（2）结合：在（1,2）中,数1与余1的任合一个数的和,不能被3整除；
（4）与（1）结合：在（1,2）中,数1与一个除尽的数的和,也不能被3整除.根据这二条,（4）中的1被选中.
所以满足题意要求的数共有670+1=671个.
深析二：
（2）和（3）结合：一个余1与一个余2的数的和可以被3整除,这样,（2）和（3）不能并存,只能留一个,现分析留（3）668个余2的数：
（1）与（3）结合：一个除尽的数和一个余2的数的和,不能被3整除.结合前面所述,只能在（1）任意取一个除尽的数就行了.这样,符合要求的数就应有668+1=669个.
（4）与（2）结合：在（1,2）中,数2与余2的任合一个数的和,不能被3整除；
（4）与（1）结合：在（1,2）中,数2与一个除尽的数的和,也不能被3整除.根据这二条,（4）中的2被选中.
所以题意要求的数共有669+1=670个.
以上二个分析都很严格,但有二个答案不唯一,是不是合适?或我分析的不对,

671
因为3n+1的数为1,4,7,……2008
（2008-1）÷3+1=670
3n+1全部选出再随便加一个3n的（比如3）
所以 670+1=671个