证明对任意n,任意2n-1元正整数集合,一定存在n个元素,使得他们的和是n的倍数
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/16 23:46:57
证明对任意n,任意2n-1元正整数集合,一定存在n个元素,使得他们的和是n的倍数
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不难验证,若命题对两个正整数m、n分别成立,则对mn也成立.于是只要验证命题对任意素数p成立.用反证法,假设存在2p-1个数{a[1],...,a[2p-1]},使得其中任意p个的和不是p的倍数.
对{1,...,2p-1}的任意p元子集I,令
S[I]=∑a[i],i∈I
根据假设及Fermat小定理,S[I]^(p-1)=1 [mod p].从而
∑S[I]^(p-1) = C(2p-1,p) [mod p]
容易验证,C(2p-1,p)不是p的倍数.---------------到这部分我还明白了
另一方面,每个S[I]^(p-1)由如下的项组成:
{(p-1)!/(e[1]!*...*e[r]!)}*a[i(1)]^(e[1])*...*a[i(r)]^(e[r])---------------这是二项式展开
其中i(1),...,i(r)∈I,e[1]+...+e[r]=p-1.而每个这样的项会在包含{i(1),...,i(r)}的p元指标集I所对应的S[I]中各出现一次.对每个固定的{i(1),...,i(r)},这样的I共有C(2p-1-r,p-r)个.注意到0
不难验证,若命题对两个正整数m、n分别成立,则对mn也成立.于是只要验证命题对任意素数p成立.用反证法,假设存在2p-1个数{a[1],...,a[2p-1]},使得其中任意p个的和不是p的倍数.
对{1,...,2p-1}的任意p元子集I,令
S[I]=∑a[i],i∈I
根据假设及Fermat小定理,S[I]^(p-1)=1 [mod p].从而
∑S[I]^(p-1) = C(2p-1,p) [mod p]
容易验证,C(2p-1,p)不是p的倍数.---------------到这部分我还明白了
另一方面,每个S[I]^(p-1)由如下的项组成:
{(p-1)!/(e[1]!*...*e[r]!)}*a[i(1)]^(e[1])*...*a[i(r)]^(e[r])---------------这是二项式展开
其中i(1),...,i(r)∈I,e[1]+...+e[r]=p-1.而每个这样的项会在包含{i(1),...,i(r)}的p元指标集I所对应的S[I]中各出现一次.对每个固定的{i(1),...,i(r)},这样的I共有C(2p-1-r,p-r)个.注意到0
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是否存在正整数m,使得f(n)=(2n+7)•3n+9对任意正整数n都能被m整除?若存在,求出最大的m值,并证明你的结论
是否存在正整数m,使得f(n)=(2n+7)*3^n+9对任意自然数n都能被m整除.若存在,求出最大的m值
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