求幂级数∑(n=1,∞) Z^n/n^2的收敛半径 即区间n=1至∞,n的平方分之一,乘以z的n次方的收敛半径.
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/26 03:14:11
求幂级数∑(n=1,∞) Z^n/n^2的收敛半径 即区间n=1至∞,n的平方分之一,乘以z的n次方的收敛半径.
可以用D'Alembert比值判别法.
a[n] = 1/n²,a[n+1] = 1/(n+1)²,因此a[n+1]/a[n] → 1.
对z ≠ 0,a[n+1]·z^(n+1)/(a[n]·z^n) → z.
故级数∑{1 ≤ n} z^n/n² = ∑{1 ≤ n} a[n]·z^n在|z| < 1时收敛,|z| > 1时发散.
收敛半径为1.
如果学过收敛半径的Cauchy-Hadamard公式:1/R = limsup{n→∞} |a[n]|^(1/n),
可直接由lim{n→∞} n^(1/n) = 1得到结论.
a[n] = 1/n²,a[n+1] = 1/(n+1)²,因此a[n+1]/a[n] → 1.
对z ≠ 0,a[n+1]·z^(n+1)/(a[n]·z^n) → z.
故级数∑{1 ≤ n} z^n/n² = ∑{1 ≤ n} a[n]·z^n在|z| < 1时收敛,|z| > 1时发散.
收敛半径为1.
如果学过收敛半径的Cauchy-Hadamard公式:1/R = limsup{n→∞} |a[n]|^(1/n),
可直接由lim{n→∞} n^(1/n) = 1得到结论.
求幂级数∑(n=1,∞) Z^n/n^2的收敛半径 即区间n=1至∞,n的平方分之一,乘以z的n次方的收敛半径.
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