已知,如图,在平面直角坐标系中,点A坐标为（-2,0）,点B坐标为（0,2）,点E为线段AB上的动点（点E不与

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/29 18:59:49

已知,如图,在平面直角坐标系中,点A坐标为（-2,0）,点B坐标为（0,2）,点E为线段AB上的动点（点E不与
点A,B重合）,以E为顶点作∠OET=45°,射线ET交线段0B于点F,C为y轴正半轴上一点,且OC=AB,抛物线y=-根号2x2+mx+n的图象经过A,C两点．
（1）求此抛物线的函数表达式；（2）求证：∠BEF=∠AOE（3）当△EOF为等腰三角形时,求此时点E的坐

分析：（1）首先求出点C的坐标,然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）利用三角形外角性质,易证∠BEF=∠AOE；
（3）当△EOF为等腰三角形时,有三种情况,需要分类讨论,注意不要漏解；
（4）本问关键是利用已知条件求得点P的纵坐标,要点是将△EPF与△EDG的面积之比转化为线段之比．如图④所示,首先证明点E为DF的中点,然后作x轴的平行线FN,则△EDG≌△EFN,从而将△EPF与△EDG的面积之比转化为PE：NE；过点P作x轴垂线,可依次求出线段PT、PM的长度,从而求得点P的纵坐标；最后解一元二次方程,确定点P的坐标．（1）如图①,∵A（-2,0）B（0,2）
∴OA=OB=2,
∴AB2=OA2+OB2=22+22=8
∴AB=22,
∵OC=AB
∴OC=22,即C（0,22）
又∵抛物线y=-2x2+mx+n的图象经过A、C两点
则可得-4
2-2m+n=0n=2
2,
解得m=-
2n=2
2．
∴抛物线的表达式为y=-2x2-2x+22．
（2）∵OA=OB,∠AOB=90°,∴∠BAO=∠ABO=45°
又∵∠BEO=∠BAO+∠AOE=45°+∠AOE,
∠BEO=∠OEF+∠BEF=45°+∠BEF,
∴∠BEF=∠AOE．
（3）当△EOF为等腰三角形时,分三种情况讨论
①当OE=OF时,∠OFE=∠OEF=45°
在△EOF中,∠EOF=180°-∠OEF-∠OFE=180°-45°-45°=90°
又∵∠AOB=90°
则此时点E于点A重合,不符合题意,此种情况不成立．
②如图2,当FE=FO时,
∠EOF=∠OEF=45°
在△EOF中,
∠EFO=180°-∠OEF-∠EOF=180°-45°-45°=90°
∴∠AOF+∠EFO=90°+90°=180°
∴EF∥AO,
∴∠BEF=∠BAO=45°
又∵由（2）可知,∠ABO=45°
∴∠BEF=∠ABO,
∴BF=EF,
EF=BF=12OB=12×2=1
∴E（-1,1）
③如图③,当EO=EF时,过点E作EH⊥y轴于点H
在△AOE和△BEF中,
∠EAO=∠FBE,EO=EF,∠AOE=∠BEF
∴△AOE≌△BEF,
∴BE=AO=2
∵EH⊥OB,
∴∠EHB=90°,
∴∠AOB=∠EHB
∴EH∥AO,
∴∠BEH=∠BAO=45°
在Rt△BEH中,∵∠BEH=∠ABO=45°
∴EH=BH=BEcos45°=2×22=2
∴OH=OB-BH=2-2∴E（-2,2-2）
综上所述,当△EOF为等腰三角形时,所求E点坐标为E（-1,1）或E（-2,2-2）．