（2011•江苏模拟）已知函数f（x）=x2-1，g（x）=a|x-1|．

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：综合作业时间：2024/05/15 10:02:50

（2011•江苏模拟）已知函数f（x）=x²-1，g（x）=a|x-1|．
（1）若关于x的方程|f（x）|=g（x）只有一个实数解，求实数a的取值范围；
（2）若当x∈R时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）求函数h（x）=|f（x）|+g（x）在区间[-2，2]上的最大值（直接写出结果，不需给出演算步骤）．

（1）方程|f（x）|=g（x），即|x²-1|=a|x-1|，变形得|x-1|（|x+1|-a）=0，
显然，x=1已是该方程的根，从而欲原方程只有一解，即要求方程|x+1|=a，
有且仅有一个等于1的解或无解，
由此得a＜0．
（2）不等式f（x）≥g（x）对x∈R恒成立，即（x²-1）≥a|x-1|（*）对x∈R恒成立，
①当x=1时，（*）显然成立，此时a∈R；
②当x≠1时，（*）可变形为a≤
x2−1
|x−1|，令φ(x)＝
x2−1
|x−1|＝

x+1，(x＞1)
−(x+1)，(x＜1)
因为当x＞1时，φ（x）＞2，当x＜1时，φ（x）＞-2，
所以φ（x）＞-2，故此时a≤-2．
综合①②，得所求实数a的取值范围是a≤-2．
（3）因为h（x）=|f（x）|+g（x）=|x²-1|+a|x-1|=

x2+ax−a−1，(x≥1)
−x2−ax+a+1，(−1≤x＜1)
x2−ax+a−1，(x＜−1)（10分）
当
a
2＞1，即a＞2时，结合图形可知h（x）在[-2，1]上递减，在[1，2]上递增，
且h（-2）=3a+3，h（2）=a+3，经比较，此时h（x）在[-2，2]上的最大值为3a+3．
当0≤
a
2≤1，即0≤a≤2时，结合图形可知h（x）在[-2，-1]，[−
a
2，1]上递减，
在[−1，−
a
2]，[1，2]上递增，且h（-2）=3a+3，h（2）=a+3，h(−
a
2)＝
a2
4+a+1，
经比较，知此时h（x）在[-2，2]上的最大值为3a+3．
当−1≤
a
2＜0，即−2≤a＜0时，结合图形可知h（x）在[-2，-1]，[−

（2011•江苏模拟）已知函数f（x）=x2-1，g（x）=a|x-1|．（2014•江苏模拟）已知函数f（x）=x3+x2-ax（a∈R）．（2011•安徽模拟）已知f（x）=x2+3x+1，g（x）=a-1x-1+x．（2011•江苏模拟）已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝ax(a＞0)，设F（x）=f（x）+g（x）（2013•杭州模拟）已知函数f(x)＝1x+1，g（x）=x2+1，则f[g（0）]的值等于（　　）（2014•浙江模拟）设函数f（x）=x|2x-a|，g（x）=x2−ax−1，a＞0 已知函数f(x)=1/2x2+alnx,g(x)=(a+1)x(a≠-1),H(x）=f（x）-g(x). （2014•宁波模拟）已知函数f（x）=x-x-1，g（x）=x+2x，h（x）=x+lnx，零点分别为x1，x2，x3 已知函数f（x）=x2+2aln（1-x）（a∈R）,g（x）=f（x）-x2+x （2012•江苏三模）已知函数f（x）=x2+2ax+1（a∈R），f′（x）是f（x）的导函数．（2011•江苏二模）已知函数f（x）=x+a+a|x|，a为实数．（2011•江苏模拟）设m为实数，函数f（x）=2x2+（x-m）|x-m|，h(x)＝f(x)x(x≠0)0(x＝0)