若方阵A^2=A,A不是单位方阵,那么A为零矩阵吗
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/29 11:44:32
因为A=A^2所以A(A-E)=0\x0d所以r(A)+r(A-E)≤n.\x0d参:\x0d\x0d又n=r(E)=r(A+E-A)≤r(A)+r(E-A)=r(A)+r(A-E)\x0d参:\x0
直接验证.a是单位列向量,所以aTa=1AT=ET-2(aaT)T=E-2aaT所以是对称阵.ATA=(E-2aaT)(E-2aaT)=E-2aaT-2aaT+4aaTaaT=E这说明A是正交阵.
可用行列式的性质如图计算,答案是32.经济数学团队帮你解答,请及时采纳.
3,A*也是满秩的因为A可逆,所以A*A=|A|E,也就是说A为A*的逆,所以A*也是满秩的
因为A^2=A所以A(A-E)=0所以0=R(A(A-E))≥R(A)+R(A-E)-n故R(A)+R(A-E)≤n又R(A)+R(A-E)=R(A)+R(E-A)≥R(A+E-A)=R(E)=n所以
由A^2=A,得A^2-A=0,(A-E)A=0.两n阶矩阵乘积为零矩阵,则两矩阵秩之和不大于n,故由(A-E)A=0得,R(A-E)+R(A)≤n.两矩阵之和的秩不小于两矩阵秩之和,故由(E-A)+
反证法若A是可逆矩阵,则A×A逆=EA=A×A×A逆=A×A逆=E矛盾
A^3+A^2-2A=0A^2(A+I)-2A-2I=-2I(A^2-2I)(A+I)=-2I-1/2(A^2-2I)(A+I)=I所以A+I可逆逆阵是-1/2(A^2-2I)
说明A的三个特征值分别是-2,-1/2,4/3.所以|A|=三个特征值相乘.
则已知,|A|^2=|2E|=2^n所以|A|=±√2^n(C)正确
2A-A^3=3EA(2E-A^2)=3EA(2E/3-A^2/3)=E所以,A逆=2/3×E-1/3×A^2
(A-E)²=2(A+E)²A²-2A+E=2A²+4A+2E整理得:A²+6A=-EA(A+6E)=-E所以A[-(A+6E)]=E故A^-1=-(
AA*=|A|E两边取行列式:|A||A*|=|A|^n所以|A*|=|A|^n/|A|=|A|^n-1=2^4=16.
要这样来理解把矩阵分为两类讨论,第一类是单位阵(这类显然),第二类不是单位阵(这类的目标是证明不可逆),在第二类中使用反证法.反证法的讲法存在一步逻辑跳跃,不过这步太显然了,不算是什么问题.
设a是A的任一一个特征值,则a^2-3a+2=0,从而a=1或2.进而A的特征值为1和2.
因为A2-2A等于E,两边同时取行列式,就有(A的行列式)*(A-2E的行列式)=1,说明A的行列式≠0说明A可逆,而且A的逆矩阵是A-2E
A的特征值为1,-1/3所以A^2的特征值为1,(-1/3)^2=1/9所以|A^2|=1x(1/9)=1/9
(A+4I)(A-2I)=-2I(A+4I)^-1=(A-2I)/(-2I)
用反证法.若A不奇异,那么A²=A可推知A(A-I)=0,即A-I=A^(-1)0=0,得A=i,矛盾!所以A奇异
因为A*A=A,所以A(A-E)=0;故A-E的每个列向量都是方程Ax=0的解,由于A-E中的列向量未必构成解空间的基,所以R(A)+R(A-E)小于等于n;又由R(A)+R(B)>=R(A+B);立