设函数f（x）的定义域为R，对任意实数x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y），当x＞0时f（x）＞0且f（2）=6．

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/01 07:25:17

设函数f（x）的定义域为R，对任意实数x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y），当x＞0时f（x）＞0且f（2）=6．
（1）求证：函数f（x）为奇函数；
（2）证明函数f（x）在R上是增函数；
（3）在区间[-4，4]上，求f（x）的最值．

（1）证明：∵∀x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y）
∴令x=y=0，得f（0）=f（0）+f（0）
∴f（0）=0，
令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x）
即f（-x）=-f（x），
∴函数f（x）为奇函数；
（2）证明：设∀x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂
则 f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁），
又∵当x＞0时f（x）＞0
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）＞0，
即f（x₂）＞f（x₁），
∴函数f（x）在R上是增函数
（3）解∵函数f（x）在R上是增函数，
∴函数f（x）在区间[-4，4]上也是增函数，
∴函数f（x）的最大值为f（4），最小值为f（-4）
∵f（2）=6
∴f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）=12，
∵函数f（x）为奇函数，
∴f（-4）=-f（4）=-12，
故函数f（x）的最大值为12，最小值为-12．

设函数f（x）的定义域为R,当x＞0时,f（x）＞1,且对任意x,y∈R,都有f（x+y）=f(x)*f(y) 设函数f（x）的定义域为R，对任意实数x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y），当x＞0时f（x）＞0且f（2）=6．定义域R的的函数f(x)满足：对于任意实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y）成立,且当X＞0时f(x) 已知函数y=f(x)的定义域为R,对任意x,y∈R,均有f(x+y)=f(x)+f(y),且对任意x＞0都有f（x）＜0 已知函数f（x）定义域在R上的函数,且对任意的x,y都有f（x+y)=f(x)+f(y)-1成立.当x＞0时,f(x)＞定义域为R的函数f(x)满足:对于任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立,且当x>0时,f（x）设函数f x的定义域为R,对任意实数X.Y都有f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时f(x)>0且f(2)=3 1 已知函数f（x）的定义域为R,对任意实数x,y均有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x大于0时,f(x)小于0. 设函数y=f（x）定义域为R,当x>0时f(x)>1,且对于任意的x,y∈R有f（x+y）=f（x）·f（y）成立已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数x,y满足f(x+y) =f（x）f（y）且f(x）＞0,f（2）=9 函数的奇偶性的题急求设函数f(x)的定义域为R对任意实数x.y都有f(x+y）=f(x)+(y),又当x>0时,f(2) 设f(x)是定义域在R上的函数,对任意x,y ∈R,恒有f(x+y)=f(x)×f(y),当x＞0时,有0＜f（x）＜1