AB的特征值就为BA的特征值

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/29 22:01:48

AB的特征值就为BA的特征值
看过一个证明,不过他证的是A,B均是n阶方阵.
书上有一个一般化的命题,A为m*n阶,B为n*m阶.但是此时相同的特征值就不能为0了,为什么?
而且这样的性质是不是制约了俩个可乘矩阵的乘机的特征值个数?因为AB和BA是不同阶方阵.
对,书上是道题,不过只让证明特征值不为零的情况.等式俩端同时乘以一个B矩阵的简单证法,但这种方法只能证明非零特征值么?

首先,lz的命题就不严密,反例：
若A = [1 0]t; B = [1 0],那么λ(AB) = {1, 0},λ(BA) = 1,0是AB的特征值,但不是BA的特征值.
其次,AB和BA相同的特征值既可以为0,也可以非0,只不过AB和BA的0特征值相差m - n个,并不是说AB和BA的0特征值不同.
最后,AB与BA的非零特征值个数相同,并没有制约AB有m个特征值,BA有n个特征值的特点,只不过非零特征值的个数一定满足min(m, n)而已.
再问：这个证明哪里来的？很不错的证明这么说的话，前者在m＞n的时候肯定有0特征值了？
再答：证明取自于苏育才、姜翠波、张跃辉编写的《矩阵理论》。 m > n的时候AB比BA多出了m - n个0特征值。

AB的特征值就为BA的特征值设A,B是n阶实矩阵,A的特征值互逆,证明矩阵AB=BA的充要条件为A的特征值都是B的特征值 A,B均为正定矩阵,且AB=BA,A,B的特征值分别为λ1,λ2...λn；μ1,μ2,...μn.证明AB特征值为λ 证明：矩阵AB=BA的充要条件是它们的特征值相等. A,B是n阶方阵,求证：AB 与 BA有相同的特征值. 若AB＝BA且A有个互异的特征值证明B相似于对角阵有关线性代数的问题请问,如何证明矩阵AB和BA有相同的特征值,还有,如果两矩阵有相同的特征值,那么这两个矩阵就一定相似吗线性代数：AB与BA特征值相同,为什么证明AB与BA有相同特征值高等代数证明：A、B皆为n阶方阵,如果AB=BA,且A有n个不同的特征值,证明B相似于对角设A,B都是N阶矩阵,且A可逆,证明AB与BA有相同的特征值设A,B 分别是m*n,n*m矩阵,证明：AB和BA有相同的非零特征值.