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任给n>=2,证明:存在n个互不相同的正整数,其中任意两个的和,整除这n个数的积

来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/16 07:29:15
任给n>=2,证明:存在n个互不相同的正整数,其中任意两个的和,整除这n个数的积
任给n>=2,证明:存在n个互不相同的正整数,其中任意两个的和,整除这n个数的积
令an = 8n-4
归纳证明{an}满足要求
显然n=2时,a1=4,a2=12满足要求
假设n=k时成立
n=k+1时
只需证明a(k+1)+a1,a(k+1)+a2,……,a(k+1)+ak可以整除a1a2……aka(k+1)
a(k+1)+a1=ak+a2
a(k+1)+a2=ak+a3
……
a(k+1)+a(k-1)=2ak
a(k+1)+ak=16k
除了最后一个,前面由归纳假设知道可以整除a1a2……aka(k+1)
若k是奇数,则a1a2……aka(k+1)可以表示为4^(k+1)乘以1到(2k+1)的全部奇数的乘积
k