用导数的定义求反正切函数的导数,

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/04 14:08:16

用导数的定义求反正切函数的导数,
教材上反正切函数的导数是用反函数的方法证明的,没有给出用导数的定义来求解的过程.

证明：
设 y = atan(x) ；
　　 y+Δy = atan(x+Δx),则：
　 atan’(x) = (Δx-->0)lim[atan(x+Δx) – atan(x)]/ Δx = (Δx-->0)limΔy/ Δx
　又由反函数关系有：
　　 x = tan(y)
　　 x+Δx = tan(y+Δy) = [tan(y) +tan(Δy)]/[1-tan(y)*tan(Δy)]
　　 = [x +tan(Δy)]/[1-x*tan(Δy)]
==> (x+Δx )*[1-x*tan(Δy)] = x+ tan(Δy)
==> tan(Δy) = Δx/(1+ x²+x*Δx)
　　显然,当Δx-->0时,Δy-->0
　　在用夹逼定理证明 x-->0时sin/x的极限时,我们知道
　　 (x-->0)lim(sinx/x) = (x-->0)lim(tanx/x) = 1
　　因此：
　　 (Δx-->0)lim[(tan(Δy)/Δx)/( Δy/Δx)] = (Δy-->0)lim[(tan(Δy)/Δy) = 1
　==> (Δx-->0)lim(Δy/Δx) = (Δx-->0)lim[tan(Δy)/Δx]
　　 = (Δx-->0)lim[1/(1+ x²+x*Δx)]
= 1/(1+ x²)
　　即：
　　 atan’(x)=1/(1+ x²)

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