搜搜考试网f(x)=∫(0到x)e的-t^2次方dt 展开成麦克劳林级数
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/16 00:23:02
f(x)=∫(0到x)e的-t^2次方dt 展开成麦克劳林级数
写出过程或者思路
写出过程或者思路
f(x)=∫(0到x)e的-t^2次方dt
则一阶导数：e^(-x^2).
二阶导数：-2xe^(-x^2)
三阶导数：-2e^(-x^2)+4x^2e^(-x^2)
四阶导数：-4xe^(-x^2)+8xe^(-x^2)-8x^3e^(-x^2)
.
显然,
f(0)=0
f'(0)=1
f''(0)=0
f'''(0)=-2
则当n为奇数时,f^(n)(0)=(-1)^(n-1)*2^(n-1)
当n为偶数时,f^(n)(0)=0
而迈克劳林级数为：
f(x)=f(0)+f'(0)x+1/2!f''(0)x^2+...+1/n!f^(n)(0)x^n
所以,
f(x)=∫(0到x)e的-t^2dx=
0+x-2x^2+4x^3-...+(-1)^n*2^(n-1)x^n+.
=x-2x^2+4x^3-...+(-1)^n*2^(n-1)x^n+.
则一阶导数：e^(-x^2).
二阶导数：-2xe^(-x^2)
三阶导数：-2e^(-x^2)+4x^2e^(-x^2)
四阶导数：-4xe^(-x^2)+8xe^(-x^2)-8x^3e^(-x^2)
.
显然,
f(0)=0
f'(0)=1
f''(0)=0
f'''(0)=-2
则当n为奇数时,f^(n)(0)=(-1)^(n-1)*2^(n-1)
当n为偶数时,f^(n)(0)=0
而迈克劳林级数为：
f(x)=f(0)+f'(0)x+1/2!f''(0)x^2+...+1/n!f^(n)(0)x^n
所以,
f(x)=∫(0到x)e的-t^2dx=
0+x-2x^2+4x^3-...+(-1)^n*2^(n-1)x^n+.
=x-2x^2+4x^3-...+(-1)^n*2^(n-1)x^n+.