佩亚诺余项泰勒公式x→0时arctanx = x - 1/3*x^3 + o(x^3)这里是怎么来的?

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/27 21:01:54

佩亚诺余项泰勒公式
x→0时
arctanx = x - 1/3*x^3 + o(x^3)
这里是怎么来的?

带佩亚诺余项的泰勒公式可以表示为：
f(x)=f(x0)+(x-x0) * f'(x0)/1!+ (x-x0)^2 * f''(x0)/2!+… +(x-x0)^n * f^(n) (x0)/n!+o((x-x0)^n)
而x0→0时,
f(x)=f(0)+ x * f'(0)/1!+ x^2 * f''(0)/2!+… +x^n * f^(n) (0)/n!+o(x^n)
显然当f(x)=arctanx时,
f(0)=0
f '(x)=1/(1+x^2),f ''(x)= -2x/(1+x^2)^2,
f '''(x)= -2/(1+x^2)^2 - 2x *(-2) * (2x)/(1+x^2)^3 = (6x^2-2)/(1+x^2)^3
所以当x0→0时,
f '(0)=1,f ''(0)=0,f '''(0)= -2
于是
arctanx=arctan0 + x * f'(0)/1!+ x^2 * f''(0)/2!+ x^3 * f''(0)/3!+ o(x^3)
=0+ x +0*x^2/2 -2*x^3/6 +o(x^3)
= x - 1/3*x^3 + o(x^3)

佩亚诺余项泰勒公式x→0时arctanx = x - 1/3*x^3 + o(x^3)这里是怎么来的? 高数泰勒公式问题上面那个,x * o(x^2)怎么变成o(x^3)了?不是有个公式是f(x)*o(x 数学题目--泰勒公式f(x)=x3sinx,用泰勒公式求f⑹(0).怎么做?这里面3是立方根,6是6阶导数. arctanx在x=0处的泰勒公式怎么求?直接用泰勒展开式求?还是借助原有的5类已知的泰勒公式? 泰勒公式求极限.x->∞时（x^3 +3*x^2)^1/3 -(x^4-2*x^3)^1/4 的极限请说下怎么用泰勒公怎么用泰勒公式将arc sinx化成x+1/6x^3+o（x^3）啊?如下图: 高数泰勒公式中求cosx的三阶带皮亚诺余项结果为什么是1-1/2x^2+o(x^3) 关于泰勒公式（1+x+2x^2+3x+o（x^2))^2 为什么等于 x^2 +o(x^2) 其中那个O表示高阶无穷小在X→0时求(x-arctanx(1+x^2))/(x^2*arctanx)的极限求极限limx→0时arctanx-x/x^3 求极限 x-0 (arctanx-x)/(2x^3)= 写出f(x)=arctanx带有皮亚诺型余项的四阶泰勒公式