如果x和y是两个n维非零实列向量,怎么证明det（E+XY^T）=1+X^TY,X^T代表x的转置

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：综合作业时间：2024/06/04 19:57:51

如果x和y是两个n维非零实列向量,怎么证明det（E+X*Y^T）=1+X^T*Y,X^T代表x的转置
从特征值和特征向量方面分析？

可以直接计算的.
设X^T=(x1,x2,...,xn),Y^T=(y1,y2,...,yn),
An=det（E+X*Y^T）
1+x1y1 x1y2 x1y3 ...x1yn
x2y1 1+x2y2 x2y3 ....x2yn 按第1列分成两个行列式
= x3y1 x3y2 1+x2y3 .x3yn
.
xny1 xny2 xny3 .1+xnyn
1 x1y2 x1y3 .....x1yn x1y1 x1y2 x1y3 ...x1yn
0 1+x2y2 x2y3 ....x2yn x2y1 1+x2y2 x2y3 ....x2yn
= 0 x3y2 1+x2y3 .x3yn + x3y1 x3y2 1+x2y3 .x3yn
..
0 xny2 xny3 .1+xnyn xny1 xny2 xny3 .1+xnyn
对第1个行列式按1列展开后的n-1阶行列式,与原来的的An结构一样,记为A(n-1)
对第2个行列式,第1列提个y1出来后,将第1列乘以-y2,-y3,...,-yn,分别加入第2,3,...n列.得一个三角形行列式,计算其值为x1y1(对角线上的元素为x1,1,1,.,1)
这样：An=A(n-1)+x1y1=A(n-2)+x1y1+x2y2,
一直下去,注意最后一个行列式A1=1+xnyn
于是：An=1+x1y1+x2y2+...+xnyn=1+X^T*Y.
即：det（E+X*Y^T）=1+X^T*Y
再问：非常感谢，请问可以从特征值特征向量方面考虑吗？（E+X*Y^T）的所有特征值之积为1+X^T*Y
再答：没想到简单的办法，感觉要复杂点 Bn=det（E+X*Y^T-λE） =det((1-λ)E+X*Y^T), 用上面同样的作法. Bn=(1-λ)B(n-1)+x1y1(1-λ)^(n-1) =(1-λ)[(1-λ)B(n-2)+x2y2(1-λ)^(n-2)]+x1y1(1-λ)^(n-1) =(1-λ)^2B(n-2)+x2y2(1-λ)^(n-1)+x1y1(1-λ)^(n-1) =....... =(1-λ)^n+xnyn(1-λ)^(n-1)+...+x2y2(1-λ)^(n-1)+x1y1(1-λ)^(n-1) =（1-λ)^(n-1)[1-λ+x1y1+x2y2+...+xnyn] 特征值为n-1个1和1+x1y1+x2y2+...+xnyn

如果x和y是两个n维非零实列向量,怎么证明det（E+X*Y^T）=1+X^T*Y,X^T代表x的转置 A是n阶可逆矩阵,证明：对任意n维列向量x和y,下述等式成立：x^(t)A^(-1)y=det(A+yx^(t))/de 已知x y是相互正交的n维列向量,证明e+xy^t可逆. 设向量x为n维列向量,x^t*x=1,令a=e-2x*x^t,证明a是正交矩阵设X,Y都是n维列向量,且X^T*Y=1,矩阵A=E+X*Y^T,说明A是可逆矩阵,并求A^-1 设函数y=y(x)由x=1-e^t和y=t+e^-t确定,求dy/dx和d^2y/dx^2 分数的导数求法X=t/1+t Y=1+t/t X 和 Y求导分别是多少? T Y X 设曲线x=x(t),y=y(t)由方程组x=te^t e^t+e^y=2e 确定,求该曲线在t=1处的曲率k.答案是k= if ( x< y ) { t=x; x=y; y=t; } 怎么理解呢? 求一道C语言的题目：当xy时 g(x,y)=f(x-y)/(x+y) 其中f(t)=(1+e^(-t))/(1+e^t) x,y是列向量,且y是一维自变量t的函数：y=y(t).x则是常数向量.