搜搜考试网如何判断一个矩阵是正定,负定二次型?
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/28 04:33:04
如何判断一个矩阵是正定,负定二次型?
除了求特征值和n阶子式之外呢,有没有什么简单方法
除了求特征值和n阶子式之外呢,有没有什么简单方法
这要看具体的题目,确定用什么方法
若是纯数字矩阵,我感觉用顺序主子式的方法不算太麻烦.
下面供你参考:
设A是实对称矩阵,则下列条件等价:
1.A是正定的
2.A的正惯性指数等于它的阶数n
3.A相合于单位矩阵,即存在可逆实矩阵T,使得T'AT=En
4.存在可逆实矩阵S,使得A=S'S
5.A的所有顺序主子式都大于0
6.A的所有主子式都大于0
7.A的特征值都大于0
负定的情况相应改一下吧
再问： 存在可逆实矩阵S,使得A=S'S是为什么？所有顺序主子式都大于0（比如A是3阶方阵，是验证一个2阶子式大于0还是4个？
再答： 第4条是第3条的另一个形式 由T'AT=En 得 A = (T')^-1 E T^-1 = (T^-1)'(T^-1) = S'S A是3阶方阵, 需验证1,2,3阶顺序主子式都大于0
再问： 对于2阶顺序主子式，是不是一定要取a11 a12 呢？其它的几个子式是否需要验证 a21 a22
再答： a11 a12 a21 a22 就可以了, 2阶顺序主子式 只此一个!
若是纯数字矩阵,我感觉用顺序主子式的方法不算太麻烦.
下面供你参考:
设A是实对称矩阵,则下列条件等价:
1.A是正定的
2.A的正惯性指数等于它的阶数n
3.A相合于单位矩阵,即存在可逆实矩阵T,使得T'AT=En
4.存在可逆实矩阵S,使得A=S'S
5.A的所有顺序主子式都大于0
6.A的所有主子式都大于0
7.A的特征值都大于0
负定的情况相应改一下吧
再问： 存在可逆实矩阵S,使得A=S'S是为什么？所有顺序主子式都大于0（比如A是3阶方阵，是验证一个2阶子式大于0还是4个？
再答： 第4条是第3条的另一个形式 由T'AT=En 得 A = (T')^-1 E T^-1 = (T^-1)'(T^-1) = S'S A是3阶方阵, 需验证1,2,3阶顺序主子式都大于0
再问： 对于2阶顺序主子式，是不是一定要取a11 a12 呢？其它的几个子式是否需要验证 a21 a22
再答： a11 a12 a21 a22 就可以了, 2阶顺序主子式 只此一个!