搜搜考试网关于高等数学曲面积分对称性问题
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/23 14:27:17
关于高等数学曲面积分对称性问题
在曲面z=x^2+y^2上,曲面关于zOx对称,y^2对y为偶函数,为什么 ∬y^2 dzdx=0?（某试卷答案）
教科书上不是说在对称区域,被积函数是奇函数才为0么.
在曲面z=x^2+y^2上,曲面关于zOx对称,y^2对y为偶函数,为什么 ∬y^2 dzdx=0?（某试卷答案）
教科书上不是说在对称区域,被积函数是奇函数才为0么.
首先,肯定一下教材没有错.错的是你的结论成立范围理解错误.
重积分曲线曲面都有第一型和第二型积分之分.
你说的判断原则只适用于第一型,即被积区域是没有方向之分的.
第二型曲线或曲面积分是被积区域带方向的.被积区域尽管对称,但对称的两区域积分方向不同,函数积分值就相互抵消了.
此题就属于第二型曲面积分.在曲面z=x^2+y^2上（取外侧也好,内侧也好）,zOx平面把曲面一分两半,一半方向指向y轴正方向,一半指向y轴负方向.
求解思路上：求解第二型曲面积分,都是把它转化为第一型曲面积分求解的.
然后一般的话,第一型曲面积分再投影到某个坐标平面积分求解.
几何上,你把曲面z=x^2+y^2投影到zOx面上的时候,原来的曲面是不是被你压扁成两层了啊,就像香蕉被你侧面一踩,香蕉内层或外层方向相反啊.层与层相抵消,所以结果为0
550178082同学通过变换把曲面积分投影到到xoy平面求了,曲面压缩到xoy面上是不是就是一层了吗,就像香蕉被你从上面播开,开花状铺成一层.这一层左右对称,同一层的左右相抵消就是0,无论这个面是朝上（对应题目所给曲面的内侧）还是朝下（对应题目所给曲面的外侧）.
回去再好好看看书本概念,耐心一点看,再联系本题,想通了会很开心.
重积分曲线曲面都有第一型和第二型积分之分.
你说的判断原则只适用于第一型,即被积区域是没有方向之分的.
第二型曲线或曲面积分是被积区域带方向的.被积区域尽管对称,但对称的两区域积分方向不同,函数积分值就相互抵消了.
此题就属于第二型曲面积分.在曲面z=x^2+y^2上（取外侧也好,内侧也好）,zOx平面把曲面一分两半,一半方向指向y轴正方向,一半指向y轴负方向.
求解思路上：求解第二型曲面积分,都是把它转化为第一型曲面积分求解的.
然后一般的话,第一型曲面积分再投影到某个坐标平面积分求解.
几何上,你把曲面z=x^2+y^2投影到zOx面上的时候,原来的曲面是不是被你压扁成两层了啊,就像香蕉被你侧面一踩,香蕉内层或外层方向相反啊.层与层相抵消,所以结果为0
550178082同学通过变换把曲面积分投影到到xoy平面求了,曲面压缩到xoy面上是不是就是一层了吗,就像香蕉被你从上面播开,开花状铺成一层.这一层左右对称,同一层的左右相抵消就是0,无论这个面是朝上（对应题目所给曲面的内侧）还是朝下（对应题目所给曲面的外侧）.
回去再好好看看书本概念,耐心一点看,再联系本题,想通了会很开心.
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