搜搜考试网高数大神进!快期末了!
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/04 09:58:05
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设f（x） 在[0,1]上连续且单调减少,证明：对任意a∈（0,1）,有∫（0到a） f（x）dx＞a∫（0到1）f（x） dx.
设f（x） 在[0,1]上连续且单调减少,证明：对任意a∈（0,1）,有∫（0到a） f（x）dx＞a∫（0到1）f（x） dx.
设F(t)=1/t×∫(0到t）f(x)dx,0＜t≤1.
由积分中值定理,存在y∈(0,t),使得∫(0到t）f(x)dx=t*f(y).
F'(t)=[t*f(t)-∫(0到t）f(x)dx]/t^2=[t*f(t)-t*f(y)]/t^2=[f(t)-f(y)]/t＜0
所以F(t)单调减少,所以F(t)＞F(1)=∫(0到1）f(x)dx,即∫(0到t) f(x)dx ＞ t∫(0到1) f(x)dx.
所以对于任意的a∈(0,1),有∫(0到a) f(x)dx ＞ a∫(0到1) f(x)dx.
再问： 太棒了！谢谢！问下你是怎么想到构造这样一个函数的？
再答： 证明积分不等式的思路就是积分的性质、中值定理、函数的单调性等等
由积分中值定理,存在y∈(0,t),使得∫(0到t）f(x)dx=t*f(y).
F'(t)=[t*f(t)-∫(0到t）f(x)dx]/t^2=[t*f(t)-t*f(y)]/t^2=[f(t)-f(y)]/t＜0
所以F(t)单调减少,所以F(t)＞F(1)=∫(0到1）f(x)dx,即∫(0到t) f(x)dx ＞ t∫(0到1) f(x)dx.
所以对于任意的a∈(0,1),有∫(0到a) f(x)dx ＞ a∫(0到1) f(x)dx.
再问： 太棒了！谢谢！问下你是怎么想到构造这样一个函数的？
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