函数f(x)=(a+lnx)/x (a∈R)的极大值等于?
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/06/14 02:31:39
函数f(x)=(a+lnx)/x (a∈R)的极大值等于?
已知函数f(x)=(a+lnx)/x (a∈R),
(1)求函数f(x)的极值?
(2)若a>1,求证:存在x0属于(0,+无穷大),使得f(x0)>a?
谢谢
已知函数f(x)=(a+lnx)/x (a∈R),
(1)求函数f(x)的极值?
(2)若a>1,求证:存在x0属于(0,+无穷大),使得f(x0)>a?
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(1)∵函数f(x)=(a+lnx)/x (a∈R)
∴对函数求导得:f '(x)=【1-(a+lnx)】/x^2
令f '(x)=0 得 【1-(a+lnx)】/x^2=0
即 1-(a+lnx)=0
x=e^(1-a)
∴当 x=e^(1-a) 时
函数取得极小值f(x)=f[e^(1-a) ]=[a+lne^(1-a)]/e^(1-a)
=1/e^(1-a)=e^(a-1)
(2)∵ 函数f(x)=(a+lnx)/x (a∈R)
∴可得函数定义域为 x∈(0,+∞)
令g(x0)=f(x0)-a
∴ g(x0)=(a+lnx0)/x0-a ,x0∈(0,+∞)
∴ g ’(x0)=【1-(a+lnx0)】/x0^2
令g ’(x0)=0 得1-(a+lnx0)=0
∴ x0=e^(1-a)>0
当x0=e^(1-a)时 在x0∈(0,+∞)上函数取得最小值
g【e^(1-a)】=e^(a-1)
又∵a>1
∴e^(a-1)>0
即g(x0)=f(x0)-a>0
∴ f(x0)>a
∴对函数求导得:f '(x)=【1-(a+lnx)】/x^2
令f '(x)=0 得 【1-(a+lnx)】/x^2=0
即 1-(a+lnx)=0
x=e^(1-a)
∴当 x=e^(1-a) 时
函数取得极小值f(x)=f[e^(1-a) ]=[a+lne^(1-a)]/e^(1-a)
=1/e^(1-a)=e^(a-1)
(2)∵ 函数f(x)=(a+lnx)/x (a∈R)
∴可得函数定义域为 x∈(0,+∞)
令g(x0)=f(x0)-a
∴ g(x0)=(a+lnx0)/x0-a ,x0∈(0,+∞)
∴ g ’(x0)=【1-(a+lnx0)】/x0^2
令g ’(x0)=0 得1-(a+lnx0)=0
∴ x0=e^(1-a)>0
当x0=e^(1-a)时 在x0∈(0,+∞)上函数取得最小值
g【e^(1-a)】=e^(a-1)
又∵a>1
∴e^(a-1)>0
即g(x0)=f(x0)-a>0
∴ f(x0)>a
函数f(x)=(a+lnx)/x (a∈R)的极大值等于?
已知a∈R,函数f(x)=lnx+(x-a)^2有极大值x1和极小值x21)求a的取值范围 (2)比较1/2[f(x1)
已知函数f(x)=-x²+ax-Inx(a∈R),求函数f(x)既有极大值又有极小值的充要条件
已知函数f(x)=-x²+ax-Inx(a∈R),求函数f(x)既有极大值又有极小值的充要条件
已知函数f(x)=x+ax(a∈R),g(x)=lnx
已知函数f(x)=(x-a)lnx,a∈R.
已知函数f(x)=lnx-a/x(a∈R)
已知函数f(x)=ax2-(a+2)x+lnx,a∈R
设函数f(x)=(2-a)lnx+1/x+2ax.(a∈R)
已知函数f(x)=a(x-1/x)-2lnx(a∈R) (1)求函数f(x)的单调区间
已知函数f(x)=lnx-ax(a∈R,a>0).
求函数f(x)=x+a/x(a属于R)的单调区间,并讨论函数的极大值、极小值、最大值、最小值