搜搜考试网已知函数f（x）=（x-a）lnx，a∈R．
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/05 04:54:21
已知函数f（x）=（x-a）lnx，a∈R．
（Ⅰ）当a=0时，求函数f（x）的极小值；
（Ⅱ）若函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，求a的取值范围．
（Ⅰ）当a=0时，求函数f（x）的极小值；
（Ⅱ）若函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，求a的取值范围．
（Ⅰ）定义域（0，+∞）．
当a=0时，f（x）=xlnx，f'（x）=lnx+1．
令f'（x）=0，得x＝
1
e．
当x∈(0，
1
e)时，f'（x）＜0，f（x）为减函数；
当x∈(
1
e，+∞)时，f'（x）＞0，f（x）为增函数．
所以函数f（x）的极小值是f(
1
e)＝−
1
e．
（Ⅱ）由已知得f′(x)＝lnx+
x−a
x．
因为函数f（x）在（0，+∞）是增函数，
所以f'（x）≥0，对x∈（0，+∞）恒成立．
由f'（x）≥0得lnx+
x−a
x≥0，即xlnx+x≥a对x∈（0，+∞）恒成立．
设g（x）=xlnx+x，要使“xlnx+x≥a对x∈（0，+∞）恒成立”，只要a≤g（x）min．
因为g'（x）=lnx+2，令g'（x）=0得x＝
1
e2．
当x∈(0，
1
e2)时，g'（x）＜0，g（x）为减函数；
当x∈(
1
e2，+∞)时，g'（x）＞0，g（x）为增函数．
所以g（x）在（0，+∞）上的最小值是g(
1
e2)＝−
1
e2．
故函数f（x）在（0，+∞）是增函数时，实数a的取值范围是(−∞，−
1
e2]．
当a=0时，f（x）=xlnx，f'（x）=lnx+1．
令f'（x）=0，得x＝
1
e．
当x∈(0，
1
e)时，f'（x）＜0，f（x）为减函数；
当x∈(
1
e，+∞)时，f'（x）＞0，f（x）为增函数．
所以函数f（x）的极小值是f(
1
e)＝−
1
e．
（Ⅱ）由已知得f′(x)＝lnx+
x−a
x．
因为函数f（x）在（0，+∞）是增函数，
所以f'（x）≥0，对x∈（0，+∞）恒成立．
由f'（x）≥0得lnx+
x−a
x≥0，即xlnx+x≥a对x∈（0，+∞）恒成立．
设g（x）=xlnx+x，要使“xlnx+x≥a对x∈（0，+∞）恒成立”，只要a≤g（x）min．
因为g'（x）=lnx+2，令g'（x）=0得x＝
1
e2．
当x∈(0，
1
e2)时，g'（x）＜0，g（x）为减函数；
当x∈(
1
e2，+∞)时，g'（x）＞0，g（x）为增函数．
所以g（x）在（0，+∞）上的最小值是g(
1
e2)＝−
1
e2．
故函数f（x）在（0，+∞）是增函数时，实数a的取值范围是(−∞，−
1
e2]．
已知函数f（x）=（x-a）lnx，a∈R．
已知函数f（x）=lnx-ax（a∈R，a＞0）．
已知函数f(x)＝x+ax(a∈R），g（x）=lnx
已知函数f(x）=lnx-a/x(a∈R）
已知函数f（x）=ax2-（a+2）x+lnx，a∈R
已知函数f（x）=lnx+ax-a2x2（a∈R）．
已知函数f（x）=lnx+ax+1（a∈R）．
已知函数f（x）=lnx-ax+1-ax-1（a∈R）．
已知函数f（x）=ax-1-lnx，a∈R．
已知函数f（x）=x2-lnx-ax，a∈R．
已知函数f（x）=ax2+bx-lnx，a，b∈R．
已知函数f（x）=lnx+x2-ax，a∈R．