如图,点P是矩形ABCD所在平面外一点,PA⊥平面ABCD,AP=AD,E与F分别是AB与PC的中点,求证:

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/15 00:53:51

如图,点P是矩形ABCD所在平面外一点,PA⊥平面ABCD,AP=AD,E与F分别是AB与PC的中点,求证:
向量EF是平面PCD的法向量

取PB的中点为G.
∵ABCD是矩形,∴CB＝AD、∠CBE＝90°、BC⊥CD.
∵PA⊥平面ABCD,∴∠PAE＝90°.
∵PA＝AD、CB＝AD,∴PA＝CB,又AE＝BE、∠PAE＝∠CBE＝90°,∴△PAE≌△CBE,
∴CE＝PE,而F∈PC且PF＝CF,∴EF⊥PC.
∵G、F分别是PB、PC的中点,∴GF是△PBC的中位线,∴GF∥BC,而BC⊥CD,
∴CD⊥GF.
∵G、E分别是PB、AB的中点,∴GE是△BPA的中位线,∴GE∥PA,而PA⊥平面ABCD,
∴GE⊥平面ABCD,∴CD⊥GE.
由CD⊥GF、CD⊥GE、GF∩GF＝G,∴CD⊥平面GEF,∴EF⊥CD.
由EF⊥PC、EF⊥CD、PC∩CD＝C,得：EF⊥平面PCD,∴向量EF是平面PCD的法向量.