作业帮 > 数学 > 作业

已知函数f(x)的导数f′(x)=2x-9,且f(0)的值为整数,当x∈(n,n+1](n∈N*)时,f(x)的值为整数

来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/15 02:21:37
已知函数f(x)的导数f′(x)=2x-9,且f(0)的值为整数,当x∈(n,n+1](n∈N*)时,f(x)的值为整数的个数有且只有1个,则n=(  )
A. 2
B. 6
C. 8
D. 4
已知函数f(x)的导数f′(x)=2x-9,且f(0)的值为整数,当x∈(n,n+1](n∈N*)时,f(x)的值为整数
因为f'(x)=2x-9,所以可设f(x)=x2-9x+k,则
f(0)=k,依题意知k为整数,又n为正整数,所以f(n+1)及f(n)均为整数.
f(x)=x2-9x+k=(x-4.5)2-4.52+k,是二次函数,开口向上,对称轴为x=4.5
当x∈(4,5]时,f(x)max-f(x)min=f(5)-f(4.5)=0.25,又f(5)=-20+k∈Z,故只有1个整数f(5).
即当x∈(4,5]时,f(x)的值为整数的个数有且只有1个
故选D