（2012•淄博）如图，正方形AOCB的边长为4，反比例函数的图象过点E（3，4）．

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：综合作业时间：2024/06/05 13:47:21

（2012•淄博）如图，正方形AOCB的边长为4，反比例函数的图象过点E（3，4）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）反比例函数的图象与线段BC交于点D，直线y＝−

x+b

（1）设反比例函数的解析式y=
k
x，
∵反比例函数的图象过点E（3，4），
∴4=
k
3，即k=12．
∴反比例函数的解析式y=
12
x；

（2）∵正方形AOCB的边长为4，
∴点D的横坐标为4，点F的纵坐标为4．
∵点D在反比例函数的图象上，
∴点D的纵坐标为3，即D（4，3）．
∵点D在直线y=-
1
2x+b上，
∴3=-
1
2×4+b，解得b=5．
∴直线DF为y=-
1
2x+5，
将y=4代入y=-
1
2x+5，得4=-
1
2x+5，解得x=2．
∴点F的坐标为（2，4）．

（3）∠AOF=
1
2∠EOC．
证明：在CD上取CG=AF=2，连接OG，连接EG并延长交x轴于点H．
∵AO=CO=4，∠OAF=∠OCG=90°，AF=CG=2，

∴△OAF≌△OCG（SAS）．
∴∠AOF=∠COG．
∵∠EGB=∠HGC，∠B=∠GCH=90°，BG=CG=2，
∴△EGB≌△HGC（ASA）．
∴EG=HG．
设直线EG：y=mx+n，
∵E（3，4），G（4，2），
∴

4＝3m+n
2＝4m+n，解得，

m＝−2
n＝10．
∴直线EG：y=-2x+10．
令y=-2x+10=0，得x=5．
∴H（5，0），OH=5．
在Rt△AOE中，AO=4，AE=3，根据勾股定理得OE=5．
∴OH=OE．
∴OG是等腰三角形底边EH上的中线．
∴OG是等腰三角形顶角的平分线．
∴∠EOG=∠GOH．
∴∠EOG=∠GOC=∠AOF，即∠AOF=
1
2∠EOC．