】如图,已知矩形ABCD的边长AB=2,BC=3,点P是AD边上的一动点（P异于A、D）,

】如图,已知矩形ABCD的边长AB=2,BC=3,点P是AD边上的一动点（P异于A、D）,
如图,已知矩形ABCD的边长AB=2,BC=3,点P是AD边上的一动点（P异于A、D）,Q是BC边上的任意一点.连AQ、DQ,过P作PE‖DQ交AQ于E,作PF‖AQ交DQ于F.
（1）求证：△APE∽△ADQ；
（2）设AP的长为x,试求△PEF的面积S△PEF关于x的函数关系式,并求
当P在何处时,S△PEF取得最大值?最大值为多少?
（3）当Q在何处时,△ADQ的周长最小?

（1）相似三角形的判定条件是：三个角相等.
△APE的∠PAE=△ADQ的∠DAQ（就是同一个角）,1个角相等了
因为PE‖DQ,所以∠EPA=∠QDA,（两条平行线相交的同位角）2个角想等了
因为PE‖DQ,所以∠AEP=∠AQD,3个角想等了
3个角相等,所以两个三角形相似.
（2）这个里面你必须把Q固定,不然这个问题里面就有两个变量而不是一个变量了,这和题目并不矛盾,因为题目上说P是动点,而Q不是动点,只是任意一点.我们假设AP=x,那么：AP/AD=x/3,因为APE和ADQ相似,所以PE/DQ=x/3,DQ长可以求出来,则PE=DQ*x/3.
同理,PF=AQ*x/3.
这样你就有了△PEF的两条边长.
下一步,因为PE‖DQ,PF‖AQ,所以∠EPA=∠QDA,∠FPA=180-∠FPD=180-∠QAD.
∠EPF=∠APF-∠EPA=180-∠AQB-∠DQC=∠AQD（中间多次用同位角和内错角）
∠AQB和∠DQC会求吧.这样∠AQD就出来了.
这样,你就知道了∠EPF的大小,还有PF,PE两条边的长度.
面积S=PE*PF*sin∠EPF/2=DQ*AQ*x*x/9*sin∠EPF
（3）Q在中点处时,△ADQ的周长最小.
因为假设BQ=x,那么QC=3-x.
周长=3+AD+QD=3+（4+x2)^0.5+(4+(3-x)^2)^0.5 (勾股定理)
化简后,周长=
啊.突然想起来,你是初三的,你不会求导数!
晕死.我投降了,不写了.累死了.
再问： sin是什么啊。。。。第二问的sin这里也不知道，没有学唉。 有没有更简单 易懂 适合初三学生的方法呢...？ 谢谢你这么用心的回答。O(∩_∩)O~ 如果可以，请继续帮帮我想想这一题。。。^_^
再答： 好吧，三角函数也是高中才学的东西...我又忘了....你看我元宵节这么悲催....一个人坐办公室给你来解初中数学题.... （2）那就不用三角函数了，初中数学，三角函数能做的用勾股定理都能做。回到我的解答（2）中的倒数第2行。你知道了一个三角形的两条边长，还有它们的夹角。在这一题中，也就是PE长，PF长和∠EPF的大小。我就不上图了，你自己跟着我说的做辅助线：过F点，向PE做垂线，交PE与K点。那就有一个方程组： PK+EK=PE=DQ*x/3（DQ是已知的哦，记住~） （1） (PF^2-PK^2)^0.5=(EF^2-EK^2)^0.5=FK (2) 在这个方程组里，只有PK和EK是未知量，两个方程组解两个未知量，没有任何问题的。（不要去看那个FK，FK就是为了说明前面两个式子为什么相等---勾股定理）当然，化简需要一些时间，很麻烦。但是同学，我们都是这么熬过来的嘛.... 你知道了PK和EK之后，就可以很方便的用（2）式求出来FK，FK就是三角形的高啊，然后用FK*PE/2就是三角形的面积了。 对于这一问，我觉得其实还有更简单的方法。因为初中数学搞很多技巧神马的....但是我想不起来了。 （3）我又想了想，可以这样做，周长最短，AD又是固定的，不就是要求AQ+DQ的和最短么？ 你做辅助线：延长AB至P，让BP=AB，连接PQ，这样，。然后再连接DP。这时候，QDP是一个钝角三角形。三角形△ABQ和△BPQ是全等的（自己证明，这个不会证就太说不过去了），那么AQ=PQ，这样，想求AQ+DQ最短，就变成了求PQ+DQ最短。 什么时候DQ+PQ最短呢，当然是Q在BC中点上的时候！因为如果Q不在BC的中点上，PQD三点就不在一条直线上，在△PQD中，DQ+PQ肯定大于第三边PD的长度，只有当Q在中点的时候，DQ+PQ才能等于PD=2.5（PD的长度是固定的，等于2.5） 啊，我自己被自己的证明感动了....好多年没有做这种“技巧性题目了”....