D是△ABC内一点,且满足∠DAC=∠DCA=30°,∠ABD=60°,E是BC的中点,F在AC上且满足AF=2FC.证

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/04 06:10:12

D是△ABC内一点,且满足∠DAC=∠DCA=30°,∠ABD=60°,E是BC的中点,F在AC上且满足AF=2FC.证明DE⊥EF.

方法一：
证明：
设△ABD的外界圆O与CD的延长线相交于G,与AC相交于H.
由已知条件,∠ADG=60=∠AGD,所以△ADG是正三角形,所以∠GAH=90,
因此GH是圆O的直径,因此GB⊥BH.
因为GD=DA=DC,所以D是GC的中点,所以DE‖GB；
又因为∠HDA=30,作角∠F1DC=30,显然△DHF1是正三角形,所以AH=HD=HF1=F1C,
因此F和F1重合,所以AH=HF=FC,F是HC中点,因此EF‖BH,所以DE⊥EF
方法一图片：
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方法二：
证明：
在AB上取一点H使得BH=BD,过C作BD的平行线CG,交HD延长线于G,HD延长交BC于E1.
由于∠HDB=60,所以∠CGD=∠BDG=120,∠GDC=180-∠ADC-∠ADH=180-∠AHD-∠ADH=∠HAD,又由于AD=DC,所以△AHD≌△DGC,所以GC=HD=BD,这样BDCG就是一个平行四边形,所以E和E1重合.令J为AC的中点,则EJ‖AB,且DJ⊥AC.由证法1我们已经知道∠DFJ=60,所以∠JED=∠BHD=60=∠DFJ,因此EFJD四点共圆,所以∠DEF=90,DE⊥EF.
方法二图片：http://ww123.net/baby/attachments/month_0708/20070817_2a3969b5d38a076a4a7c00ZZDoYFRuN1.gif
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D是△ABC内一点,且满足∠DAC=∠DCA=30°,∠ABD=60°,E是BC的中点,F在AC上且满足AF=2FC.证如图,在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D是BC的中点.（1）E,F分别为AB,AC上一点,且BE=AF, 如图,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,点D是△ABC内一点,且∠DAC=∠DCA=15°则BD与BC的关系是在△ABC中,D为BC中点,E为AB上一点,F为AC上一点,若∠EDF=90°,且BE²+FC²=E 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是△ABC内一点，且∠DAC=∠DCA=15°，求证：BD=BA．在三角形ABC中，D、E是边BC上的点，且BD=DE=EC；点F是边AC的中点，G是FC的中点，如图，已知三角形ABD， 1.已知在三角形ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC的中点.E,F分别是AB,AC上的点,且BE=AF,则△D 在三角形ABC中D是BC上的一点E是AC边上的一点且满足AD=AB ∠ADE=∠C 如图,在⊿ABC中,D是AC上一点,E、F分别是AB、BC上的点,且满足∠ADE=∠CDF,M是AC上异于D的另一点则有在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC的中点,E,F分别是AB,AC上的点,且BE=AF,求证:△DEF为等腰已知,在三角形ABC中,F为AC上一点,且AF:FC=1:2,D为BF中点,AD的延长线交BC于E.求：BE:EC的值. 在三角形ABC中,∠BAC=90,AB=AC,D是三角形ABC内的一点,且∠DAC=∠DCA=15,说明BD=BA成立的