设A为m阶正定阵,B为m*n阶矩阵,证明：B^tAB为正定阵的充要条件为R（B）=n

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/16 18:12:02

设A为m阶正定阵,B为m*n阶矩阵,证明：B^tAB为正定阵的充要条件为R（B）=n
B^t为矩阵B的转置,是转置乘以A在乘以B.如果能解答,请尽量详细点（步骤）,小弟的线性代数不太好.

若r(A)=n,注意Ax＝0的充分必要条件是x＝0.则对任意的非零x,有Ax非零,于是x^TA^TAx=(Ax)^T(Ax)>0,故A^TA正定.反之,设A^TA正定.若r(A)0，所以B^tAB为正定阵。（2）若B^tAB为正定阵，则对任意的非零x，有x^t（tB^tAB）x=x^tB^tABx=（Bx）^tA（Bx）>0成立，所以对任意的非零x，有Bx≠0，由矩阵方程的节的结构可知： R（B）=n.

设A为m阶正定阵,B为m*n阶矩阵,证明：B^tAB为正定阵的充要条件为R（B）=n 设A为m阶实对称矩阵且正定,B为m×n矩阵,证明:BTAB为正定矩阵的充要条件是rankB=n 设A为m阶正定矩阵,B是m*n实矩阵,且R（B）=n,证明B'AB也是正定矩阵设A,B为两个n阶正定矩阵,证明:AB为正定矩阵的充要条件是AB=BA. m阶方阵A正定,B为m×n实矩阵,证明,BTAB正定的充要条件是r(b)＝n 设A为n阶正定矩阵,B为n*m阶矩阵,证明r(BTAB)=r(B) T为上标设A、B均为N阶实对称正定矩阵,证明：如果A—B正定,则B的逆阵减去A的逆阵正定. B为m阶对称正定阵,P是秩为r的m*r型矩阵,P^TBP=A,证明:证明:A是对称正定阵. 证明：A,B均为N阶正定矩阵,则A+B也为正定矩阵关于正定矩阵的急设A为n阶实对称矩阵证明 B=I+A的平方为正定矩阵设A为n阶正定矩阵,AB为是对称矩阵,则AB为设A,B均为n阶正定矩阵,证明kA+lB也是正定矩阵,其中k,l为正数设A为m*n实矩阵,E为n阶单位矩阵,已知B=λE+（A的转置乘以A）.证明,当λ大于0时,B为正定矩阵.