搜搜考试网已知函数f（x）=lnx+ax+1（a∈R）．
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/09 19:38:59
已知函数f（x）=lnx+
| a |
| x+1 |
（1）当a=
9
2时，g（x）=lnx+
9
2(x+1)-k，
g'（x）=
1
x-
9
2(x+1)2=
2x2−5x+2
2x(x+1)2=0
解方程得方程的根为：x1=2，x2=
1
2
由g（x）定义域可知x＞0；
∵当0＜x＜
1
2时 g'（x）＞0，g（x）增函数，
当
1
2＜x＜2时 g'（x）＜0，g（x）减函数，
当x＞2时 g'（x）＞0，g（x）增函数，
∴f（x）的极大值是f(
1
2)＝3−ln2，极小值是f(2)＝
3
2+ln2
∴g（x）在x=
1
2处取得极大值3-ln2-k，在x=2处取得极小值
3
2+ln2-k；
∵函数g（x）=f（x）-k仅有一个零点
∴当3-ln2-k＜0或
3
2+ln2-k＞0时g（x）仅有一个零点，
∴k的取值范围是k＞3-ln2或k＜
3
2+ln2．
（2）当a=2时，f(x)＝lnx+
2
x+2，定义域为（0，+∞），
令h(x)＝f(x)−1＝lnx+
2
x+1−1，
∵h′(x)＝
1
x−
2
(x+1)2＝
x2+1
x(x+1)2＞0
∴h（x）在（0，+∞）是增函数
∵h（1）=0
∴①当x＞1时，h（x）＞h（1）=0，即f（x）＞1；
②当0＜x＜1时，h（x）＜h（1）=0，即f（x）＜1；
③当x=1时，h（x）=h（1）=0，即f（x）=1．
9
2时，g（x）=lnx+
9
2(x+1)-k，
g'（x）=
1
x-
9
2(x+1)2=
2x2−5x+2
2x(x+1)2=0
解方程得方程的根为：x1=2，x2=
1
2
由g（x）定义域可知x＞0；
∵当0＜x＜
1
2时 g'（x）＞0，g（x）增函数，
当
1
2＜x＜2时 g'（x）＜0，g（x）减函数，
当x＞2时 g'（x）＞0，g（x）增函数，
∴f（x）的极大值是f(
1
2)＝3−ln2，极小值是f(2)＝
3
2+ln2
∴g（x）在x=
1
2处取得极大值3-ln2-k，在x=2处取得极小值
3
2+ln2-k；
∵函数g（x）=f（x）-k仅有一个零点
∴当3-ln2-k＜0或
3
2+ln2-k＞0时g（x）仅有一个零点，
∴k的取值范围是k＞3-ln2或k＜
3
2+ln2．
（2）当a=2时，f(x)＝lnx+
2
x+2，定义域为（0，+∞），
令h(x)＝f(x)−1＝lnx+
2
x+1−1，
∵h′(x)＝
1
x−
2
(x+1)2＝
x2+1
x(x+1)2＞0
∴h（x）在（0，+∞）是增函数
∵h（1）=0
∴①当x＞1时，h（x）＞h（1）=0，即f（x）＞1；
②当0＜x＜1时，h（x）＜h（1）=0，即f（x）＜1；
③当x=1时，h（x）=h（1）=0，即f（x）=1．