若X1、X2、X3、为齐次线性方程AX=0的一个基础解系,为什么X1+X2,X2-X3,X1+X2+X3也是它的基础解系

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/15 09:16:44

若X1、X2、X3、为齐次线性方程AX=0的一个基础解系,为什么X1+X2,X2-X3,X1+X2+X3也是它的基础解系?

证明:(1) 因为齐次线性方程组的解的线性组合仍是解
所以 X1+X2,X2-X3,X1+X2+X3 都是AX=0的解.
(2) 设 k1(X1+X2)+k2(X2-X3)+k3(X1+X2+X3)=0
则 (k1+k3)X1+(k1+k2+k3)X2+(-k2+k3)X3=0.
因为X1,X2,X3为齐次线性方程AX=0的一个基础解系
所以 X1,X2,X3 线性无关.
所以有
k1+k3 = 0
k1+k2+k3 = 0
-k2+k3 = 0
又因为系数行列式 =
1 0 1
1 1 1
0 -1 1
= 1
所以 k1=k2=k3=0.
所以 X1+X2,X2-X3,X1+X2+X3 线性无关.
(3)因为AX=0的基础解系含3个向量
故X1+X2,X2-X3,X1+X2+X3也是AX=0的基础解系.

若X1、X2、X3、为齐次线性方程AX=0的一个基础解系,为什么X1+X2,X2-X3,X1+X2+X3也是它的基础解系若X1、X2、X3、为齐次线性方程AX=0的一个基础解系,则（）是它的基础解系? 齐次线性方程组{X1+X2+3X3+X4=0;2X1-X2+X3-3X4=0;X1+X3-X4=0}的基础解系齐次方程组x1-x2+x3+x4=0 2x1+x2-2x3+2x4=0的一个基础解系求下列齐次线性方程组的一个基础解系： X1+X2+2X3-X4=0 2X1+X2+X3-X4=0 2X1+2X2+X3+ 求下列齐次线性方程组的一个基础解系和通解x1+x2-3x4=0,x1-x2-2x3-x4=0,4x1-2x2+6x3+3 求下列齐次线性方程组的一个基础解系：2X1+3X2-X3+5X4=0 3X1+X2+2X3-7X4=0 4X1+X2-3 求非齐次线性方程组的基础解系及其通解 X1+X2+X3+X4=2 X1+2X2+2X3+X4=4 2X1+X2+X3+4 求数学齐次线性方程组求X1+X2-2X4=0 4X1-X2-X3-X4=0 3X1-X2-X3=0的基础解系及通解线性代数:求下列齐次线性方程组的基础解系:X1-2X2+4X3-7X4=0 2X1+X2-2X3+X4=0 3X1-X2 3元齐次线性方程组x1+2x2=0 x3=0的一个基础解系齐次线性方程组[x1+x2+x3=0; 2x1-x2+x3=0 ]的基础解析所含解向量的个数