初三证明题：如图,正方形ABCD中,点O是对角线AC的中点,点P为对角线AC上一动点,过点P做PF⊥DC于F,如图1,

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/01 12:34:47

初三证明题：如图,正方形ABCD中,点O是对角线AC的中点,点P为对角线AC上一动点,过点P做PF⊥DC于F,如图1,
当点P与O点重合时,显然有DF=CF,
(1 ) 如图2,若点P在线段AO上,（不与点A、O重合）,PE⊥PB且PE交CD于点E .
① 求证：DF=EF
② 写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系式,并证明你的结论

（1）连接BE、PD,过点P作AD的垂线,垂足为G,
①因为点O为正方形ABCD对角线AC中点,
∴点O为正方形中心,且AC平分∠DAB和∠DCB,
∵PE⊥PB,BC⊥CE,
∴B、C、E、P四点共圆,
∴∠PEB=∠PCB=45°,∠PBE=∠PCE=45°,
∴∠PBE=∠PEB=45°,
∴△PBE为等腰直角三角形,
∴PB=PE,
在△PAB和△PAD中有：AB=AD,∠BAP=∠DAP=45°,AP为公共边,
∴△PAB≌△PAD（SAS）,
∴PB=PD,
∴PE=PD,
又∵PF⊥CD,
∴DF=EF；
②∵PF⊥CD,PG⊥AD,且,∠PCF=∠PAG=45°,
∴△PCF和△PAG均为等腰直角三角形,
∵四边形DFPG为矩形,
∴PA= PG,PC= CF,
∵PG=DF,DF=EF,
∴PA= EF,
∴PC= CF= （CE+EF）= CE+ EF= CE+PA,
即,PC、PA、CE满足关系为：PC= CE+PA；
（2）结论①仍成立；结论②不成立,此时②中三条线段的数量关系是PA-PC= CE．
如图：
①∵PB⊥PE,BC⊥CE,
∴B、P、C、E四点共圆,
∴∠PEC=∠PBC,
在△PBC和△PDC中有：BC=DC（已知）,∠PCB=∠PCD=45°（已证）,PC边公共边,
∴△PBC≌△PDC（SAS）,
∴∠PBC=∠PDC,
∴∠PEC=∠PDC,
∵PF⊥DE,
∴DF=EF；
②同理：PA= PG= DF= EF,PC= CF,
∴PA= EF= （CE+CF）= CE+ CF= CE+PC
即,PC、PA、CE满足关系为：PA-PC= CE．