已知函数f(x)=ax3+cx+d (a≠0)是R上的奇函数,当x=1时,f(x)取得极值-2.
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/06 12:17:03
已知函数f(x)=ax3+cx+d (a≠0)是R上的奇函数,当x=1时,f(x)取得极值-2.
(1)求函数f(x)的解析式.
(2)求函数f(x)的单调区间和极大值.
(3)证明:对任意x1,x2∈(-1,1),不等式|f(x1)-f(x2)|<4恒成立.
(1)求函数f(x)的解析式.
(2)求函数f(x)的单调区间和极大值.
(3)证明:对任意x1,x2∈(-1,1),不等式|f(x1)-f(x2)|<4恒成立.
(1)∵f(x)是R上的奇函数,
∴f(-x)=-f(x),
即-ax3-cx+d=-ax3-cx-d,
∴d=-d,即d=0 (或由f(0)=0得d=0),
∴f(x)=ax3+cx,
则f′(x)=3ax2+c,又当x=1时,f(x)取得极值-2,
∴
f(1)=−2
f′(1)=0,即
a+c=−2
3a+c=0,解得
a=1
c=−3.
∴f(x)=x3-3x;
(2)f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),
令f′(x)=0,得x=±1.
当-1<x<1时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减;
当x<-1或x>1时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增;
∴函数f(x)的递增区间是(-∞,-1),(1,+∞);
递减区间为(-1,1).
因此,f(x)在x=-1处取得极大值,且极大值为f(-1)=2;
(3)证明:由(2)知,函数f(x)在区间[-1,1]上单调递减,
且f(x)在区间[-1,1]上的最大值为M=f(-1)=2.最小值为m=f(1)=-2.
∴对任意x1,x2∈(-1,1),不等式|f(x1)-f(x2)|<M-m=4成立.
即对任意x1,x2∈(-1,1),不等式|f(x1)-f(x2)|<4恒成立.
∴f(-x)=-f(x),
即-ax3-cx+d=-ax3-cx-d,
∴d=-d,即d=0 (或由f(0)=0得d=0),
∴f(x)=ax3+cx,
则f′(x)=3ax2+c,又当x=1时,f(x)取得极值-2,
∴
f(1)=−2
f′(1)=0,即
a+c=−2
3a+c=0,解得
a=1
c=−3.
∴f(x)=x3-3x;
(2)f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),
令f′(x)=0,得x=±1.
当-1<x<1时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减;
当x<-1或x>1时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增;
∴函数f(x)的递增区间是(-∞,-1),(1,+∞);
递减区间为(-1,1).
因此,f(x)在x=-1处取得极大值,且极大值为f(-1)=2;
(3)证明:由(2)知,函数f(x)在区间[-1,1]上单调递减,
且f(x)在区间[-1,1]上的最大值为M=f(-1)=2.最小值为m=f(1)=-2.
∴对任意x1,x2∈(-1,1),不等式|f(x1)-f(x2)|<M-m=4成立.
即对任意x1,x2∈(-1,1),不等式|f(x1)-f(x2)|<4恒成立.
已知函数f(x)=ax3+cx+d (a≠0)是R上的奇函数,当x=1时,f(x)取得极值-2.
已知函数f(x)=ax^3+cx+d(a≠0)是R上的奇函数,当x=1时函数f(x)取得极值-2 求函数f(x)的单调区
【急】已知函数f(x)=ax^3+cx+d(a≠0)是R上的奇函数,当x=1时f(x)取得极值-2
1.f(x)=ax3+cx+d(a≠0)在R上为奇函数,当x=1时,取极值2
已知函数f(x)=ax^3+cx+d是R上的奇函数,当x=1时取得极值-2.
已知函数f(x)=ax^3+cx+d (a不=0)是R上的奇函数,当x=1时 f(x)取得极值-2,当x属于[-3,3]
已知函数f(x)=ax3+bx2+cx(a#0)是定义在R上的奇函数,且x=-1时,取得极值1,求f(x)的解析式
已知函数f(x)=ax*3+cx+d(a不等于0)是R上的奇函数,当x=1时f(x)取的极值-2.求f(x)的单调区间和
已知函数f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)是定义在R上的奇函数,且x=-1时,函数取极值1;若对任意的x1,x2∈
已知函数f(x)=ax^3+cx+d是R上的奇函数,当x=1时取得极值-2.求f(x)的单调区间和极大值.
已知 f(x)=ax^3+bx^2+cx(a≠0)是定义在R上的奇函数,且x=-1时,函数取得极值1
已知函数f(x)=ax3+bx2+cx(a#0)是定义在R:的奇函数,且x=-1时,取得极值1,一曲线上是否存在两个不同