一道线性代数选择题：若矩阵A与B的特征值都相同(包括重数)则两矩阵相似吗?

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/01 12:34:18

一道线性代数选择题：若矩阵A与B的特征值都相同(包括重数)则两矩阵相似吗?
下列说法正确的是( ).
A、若矩阵A与B的特征值都相同(包括重数)则两矩阵相似.
B、若矩阵A与B的特征值都相同(包括重数)则两矩阵合同.
C、若实矩阵A=A转置,B=B转置且特征值相同(包括重数)则A与B合同.
D、若矩阵A与B等价则A与B必相似.
因为由题设条件A、B都是实对称矩阵,由于实对称矩阵相似的充要条件是特征值相同,故A与B相似,而相似必合同,因而A与B必合同.
我的疑问是：
1：
2：什么是重数啊
3：为什么答案解析说的是
①实对称矩阵相似的充要条件是特征值相同
②而相似必合同这是为什么

实对称矩阵可正交对角化,
正交对角化即与对角矩阵相似
由于对角矩阵主对角线上元素都是特征值
所以特征值相同的实对称矩阵相似与同一个对角矩阵
而相似关系都是等价关系(有传递性)
所以实对称矩阵相似的充要条件是特征值相同
对实对称矩阵矩阵而言
相似则特征值相同
则正交相似于同一对角矩阵
正交相似即是相似又是合同
所以相似必合同
特征值的重数即特征多项式的重根
有时说A的特征值为 1,4,4,即4是2重特征值
再问：老师期末了再顺带回答我一个问题吧 1：几何重数和代数重数是不同的吧？ 2：搞不清线性空间和向量空间的本质区别谢谢老师
再答： 1. 代数重数是是特征多项式中特征值的重数如 |A-λE| = (λ1-λ)^2(λ2-λ)^3... 则特征值λ1的几何重数是 2 而它的几何重数是指齐次线性方程组 (A-λ1E)x=0 的基础解系所含向量的个数即 n - r(A-λ1E) 2. 向量空间就是线性空间,没有区别都是定义了两种运算(加法与数乘), 满足8条运算规律

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