设函数f（x）=（x+1）ln（x+1）-ax在x=0处取得极值．

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/25 18:01:09

设函数f（x）=（x+1）ln（x+1）-ax在x=0处取得极值．
（1）求a的值及函数f（x）的单调区间；
（2）证明对任意的正整数n，不等式nlnn≥（n-1）ln（n+1）．

（1）∵f（x）=（x+1）ln（x+1）-ax，
∴f'（x）=ln（x+1）+1-a，
∵f（x）在x=0处取得极值，
∴f'（0）=0，∴a=1，
故f'（x）=ln（x+1），
当x+1＞1，即x＞0时，f'（x）＞0，
当0＜x+1＜1，即-1＜x＜0时，f'（x）＜0，
∴f（x）的增区间为（0，+∞），减区间为（-1，0）．
（2）证明：当n=1时，左边=0，右边=0，0≥0成立；
当n=2时，左边=2ln2=ln4，右边=ln3，ln4≥ln3成立；
当n≥3时，原不等式等价于
lnn
n−1≥
ln(n+1)
n，
令g（x）=
lnx
x−1，（x≥3），
则g（x）=

x−1
x−lnx
(x−1)2，
当x≥3时，
x−1
x＜1，lnx＞1，
∴
x−1
x−lnx＜0，
从而g（x）＜0，∴g（x）递减，
所以，当n-1＞n≥3时，
有g（n-1）＜g（n），
即
ln(n+1)
n＜
lnn
n−1，
综上所述：对任意的正整数n，不等式nlnn≥（n-1）ln（n+1）都成立．

设函数f（x）=（x+1）ln（x+1）-ax在x=0处取得极值．已知函数f（x）=x-ln（x+a）在x=1处取得极值. 已知函数f（x）=ln（x+a）-x^2-x在x=0处取得极值已知函数f（x）=ln(x+a)-x∧2-x在x＝0处取得极值, 已知函数f(x)=ln(ax+1)+((1-x)/(1+x),x大于或等于0,其中a＞0.f（x）在x=1处取得极值,求已知函数f(x)=ln(x+m),g(x)=e^x-1,F(x)=g(x)-f(x)在x=0处取得极值. 已知函数f(x)=ln(x+1)/(x+1),设h(x)=(x+1)f(x)-x-ax^3在（0,2）上有极值,求a的取设函数f(x)=2x^3+3ax^2+3bx+8c在x=1及x=2取得极值（1）f(x)增区间（2)若对x属[0,3】都函数f（x）=ax^3+bx^2-3x在x=±1取得极值. 已知函数f（x）=ax^3-3x在x=1上取得极值 3、已知函数f（x）=x^2+x-ln（x+a）在x=0处取得极值已知f（x）=2ax-bx+lnx在x=-1，x=12处取得极值．