搜搜考试网关于线性代数的子空间的定义的一个疑问
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/08 20:01:11
关于线性代数的子空间的定义的一个疑问
子空间的定义如下：
定理:设 V 是在域 F 上的向量空间,并设 W 是 V 的子集.则 W 是个子空间,当且仅当它满足下列三个条件:
零向量 在 W 中.
如果 u 和 v 是 W 的元素,则 u + v 的和是 W 的元素.
如果 u 是 W 的元素而 c 是来自 F 的标量,则标量积 cu 是 W 的元素.
为什么定义中要特意提出第一条?由第三条得,因为0一定在域F中,所以任取一向量u,0u=零向量也应该则W中.所以此条是冗余的?但数学语言不是尽量追求简洁吗?希望有哪位牛人能指点一二,
xxp90同学的回答启发了我，是不是因为上面那个定理里面没有涉及到W是非空的，所以用“零向量在W中”来代替呢？
子空间的定义如下：
定理:设 V 是在域 F 上的向量空间,并设 W 是 V 的子集.则 W 是个子空间,当且仅当它满足下列三个条件:
零向量 在 W 中.
如果 u 和 v 是 W 的元素,则 u + v 的和是 W 的元素.
如果 u 是 W 的元素而 c 是来自 F 的标量,则标量积 cu 是 W 的元素.
为什么定义中要特意提出第一条?由第三条得,因为0一定在域F中,所以任取一向量u,0u=零向量也应该则W中.所以此条是冗余的?但数学语言不是尽量追求简洁吗?希望有哪位牛人能指点一二,
xxp90同学的回答启发了我，是不是因为上面那个定理里面没有涉及到W是非空的，所以用“零向量在W中”来代替呢？
确实是冗余的,看这个：
A nonempty subset W of a vector space V that is closed under addition and scalar multiplication (and therefore contains the 0-vector of V) is called a subspace of V.
from wikipedia
A nonempty subset W of a vector space V that is closed under addition and scalar multiplication (and therefore contains the 0-vector of V) is called a subspace of V.
from wikipedia