幂级数求和中,逐项求导或逐项积分到底该如何操作?
来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/08 14:50:09
幂级数求和中,逐项求导或逐项积分到底该如何操作?
如:∑(n从1到正无穷)(-1)^(n-1) * (2x)^(2n-1) / (2n-1)
∑(n从1到正无穷)n *(n+2)X^2n
如:∑(n从1到正无穷)(-1)^(n-1) * (2x)^(2n-1) / (2n-1)
∑(n从1到正无穷)n *(n+2)X^2n
①∑(n从1到正无穷)(-1)^(n-1) * (2x)^(2n-1) / (2n-1)
=∑(n从1到正无穷)(-1)^(n-1) ∫(2x)^(2n-2) dx(积分区间为0到x,下同)
=∑(n从1到正无穷)(-1)^(n-1)∫(4x²)^(n-1)dx
=∑(n从1到正无穷)∫(-4x²)^(n-1)dx
=∫[∑(n从1到正无穷)(-4x²)^(n-1)]dx
=∫[1/(1+4x²)]dx
=arctan2x
②∑(n从1到正无穷)n *(n+2)X^2n
=1/2∑(n从1到正无穷)2n(n+2)x^2n
=(1/2)x∑(n从1到正无穷)(n+2)2nx^(2n-1)
=(1/2)x∑(n从1到正无穷)(n+2)[x^(2n)]′
=(1/2)x[∑(n从1到正无穷)(n+2)x^(2n)]′
∑(n从1到正无穷)(n+2)x^(2n)
=1/(2x³)∑(n从1到正无穷)(2n+4)x^(2n+3)
=1/(2x³)∑(n从1到正无穷)[x^(2n+4)]′
=1/(2x³)[∑(n从1到正无穷)x^(2n+4)]′
=1/(2x³)[x^6/(1-x²)]′
=x²(3-2x²)/(1-x²)²
原式=(1/2)x[∑(n从1到正无穷)(n+2)x^(2n)]′
=(1/2)x[x²(3-2x²)/(1-x²)²]′
=x²(3-x²) /(1-x)³
再问: 高数真让人头疼,小弟还是有些许不明白:第一题中 ∫[∑(n从1到正无穷)(-4x²)^(n-1)]dx =∫[1/(1+4x²)]dx 这步是如何得到的呀?
再答: 你知道∑(n从0到无穷)x^n=1/(1-x)吗? 这里也是一样的,∑(n从1到正无穷)(-4x²)^(n-1)的收敛区间为(-1/2,1/2],在收敛区域内 Sn=[1-(-4x²)^n]/(1+4x²) lim(n→∞)Sn=1/(1+4x²) 即该级数∑(n从1到正无穷)(-4x²)^(n-1)=1/(1+4x²)
=∑(n从1到正无穷)(-1)^(n-1) ∫(2x)^(2n-2) dx(积分区间为0到x,下同)
=∑(n从1到正无穷)(-1)^(n-1)∫(4x²)^(n-1)dx
=∑(n从1到正无穷)∫(-4x²)^(n-1)dx
=∫[∑(n从1到正无穷)(-4x²)^(n-1)]dx
=∫[1/(1+4x²)]dx
=arctan2x
②∑(n从1到正无穷)n *(n+2)X^2n
=1/2∑(n从1到正无穷)2n(n+2)x^2n
=(1/2)x∑(n从1到正无穷)(n+2)2nx^(2n-1)
=(1/2)x∑(n从1到正无穷)(n+2)[x^(2n)]′
=(1/2)x[∑(n从1到正无穷)(n+2)x^(2n)]′
∑(n从1到正无穷)(n+2)x^(2n)
=1/(2x³)∑(n从1到正无穷)(2n+4)x^(2n+3)
=1/(2x³)∑(n从1到正无穷)[x^(2n+4)]′
=1/(2x³)[∑(n从1到正无穷)x^(2n+4)]′
=1/(2x³)[x^6/(1-x²)]′
=x²(3-2x²)/(1-x²)²
原式=(1/2)x[∑(n从1到正无穷)(n+2)x^(2n)]′
=(1/2)x[x²(3-2x²)/(1-x²)²]′
=x²(3-x²) /(1-x)³
再问: 高数真让人头疼,小弟还是有些许不明白:第一题中 ∫[∑(n从1到正无穷)(-4x²)^(n-1)]dx =∫[1/(1+4x²)]dx 这步是如何得到的呀?
再答: 你知道∑(n从0到无穷)x^n=1/(1-x)吗? 这里也是一样的,∑(n从1到正无穷)(-4x²)^(n-1)的收敛区间为(-1/2,1/2],在收敛区域内 Sn=[1-(-4x²)^n]/(1+4x²) lim(n→∞)Sn=1/(1+4x²) 即该级数∑(n从1到正无穷)(-4x²)^(n-1)=1/(1+4x²)
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求:通俗点儿解释下幂级数的逐项求导和逐项积分啊,老师讲的听不懂,自己看书看不懂~~
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