搜搜考试网急! 一道关于圆的数学题
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/10 06:55:29
急! 一道关于圆的数学题
平面上有几个圆,其中每两个圆都相交于两点,且每三个圆不相交于一点 用f（n）表示n个圆把平面分成的部分个数
已知 f（1)=2 f(2)=4 f(3)=8 f(4)=14
试用数学归纳法证明f（n）=n^2-n+2
可以参考此网址http://zhidao.baidu.com/question/111046022.html
（如不能链接可以尝试复制-粘贴到地址栏 回车）
平面上有几个圆,其中每两个圆都相交于两点,且每三个圆不相交于一点 用f（n）表示n个圆把平面分成的部分个数
已知 f（1)=2 f(2)=4 f(3)=8 f(4)=14
试用数学归纳法证明f（n）=n^2-n+2
可以参考此网址http://zhidao.baidu.com/question/111046022.html
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用数学归纳法证明：
(1)当n=1时,f(n)=1^1-1+2=2,成立
(2)假设当n=k时,f(k)=k^2-k+2成立
因为从k个圆到(k+1)个圆,新增的圆最多与原来的k个圆有2k个交点,每两个交点间均有一条弧,而每增加一个圆弧段,便可将原来的某个区域分为两个区域,因此这k条弧,共可形成2k个新区域
则f(k+1)=f(k)+2k=k^2+k+2=(k^2+2k+1)-(k+1)+2=(k+1)^2-(k+1)+2,当n=k+1时,f(n)=n^2-n+2成立
由(1)、(2),可证明f(n)=n^2-n+2成立
((1)n=1成立,由(2),n=2成立；n=2成立,由(2),n=3成立；...,因此原式成立)
(1)当n=1时,f(n)=1^1-1+2=2,成立
(2)假设当n=k时,f(k)=k^2-k+2成立
因为从k个圆到(k+1)个圆,新增的圆最多与原来的k个圆有2k个交点,每两个交点间均有一条弧,而每增加一个圆弧段,便可将原来的某个区域分为两个区域,因此这k条弧,共可形成2k个新区域
则f(k+1)=f(k)+2k=k^2+k+2=(k^2+2k+1)-(k+1)+2=(k+1)^2-(k+1)+2,当n=k+1时,f(n)=n^2-n+2成立
由(1)、(2),可证明f(n)=n^2-n+2成立
((1)n=1成立,由(2),n=2成立；n=2成立,由(2),n=3成立；...,因此原式成立)