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已知三个关于x的一元二次方程ax^2+bx+c=0,bx^2+cx+a=0,cx……2+ax+b=0恰有一个公共实数根

来源:学生作业帮 编辑:搜搜考试网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/06 10:02:35
已知三个关于x的一元二次方程ax^2+bx+c=0,bx^2+cx+a=0,cx……2+ax+b=0恰有一个公共实数根
求证a+b+c=0
已知三个关于x的一元二次方程ax^2+bx+c=0,bx^2+cx+a=0,cx……2+ax+b=0恰有一个公共实数根
证明:
左边三式相加得ax^2+bx+c+bx^2+cx+a+cx^2+ax+b=0
合并同类项得
(a+b+c)x^2+(a+b+c)x+(a+b+c)=0
即(a+b+c)(x^2+x+1)=0
又∵x^2+x+1=x^2+x+¼+¾=(x+½)^2+¾>0
∴a+b+c=0