搜搜考试网若点P(m,n)是椭圆x^2/25+y^2/16=1上的一动点,求直接l:mx+ny=1被圆:x^2+y^2=1所截得的
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/04 05:34:48
若点P(m,n)是椭圆x^2/25+y^2/16=1上的一动点,求直接l:mx+ny=1被圆:x^2+y^2=1所截得的弦长的取值范围?
/>设直线l:mx+ny=1被圆:x^2+y^2=1所截得的弦长为t,圆心o点到直线的距离为d,
即 d=1/√(m^2+n^2) 且有(t/2)^2+d^2=1所以t^2=4(1-d^2)
因为点P(m,n)是椭圆x^2/25+y^2/16=1上的一动点, a=5,b=4,
因此4≤√(m^2+n^2) ≤5
所以1/5≤1/√(m^2+n^2) ≤1/4
即1/5≤d ≤1/4
所以1/25≤d^2 ≤1/16
所以-1/16≤-d^2 ≤-1/25
所以15/16≤1-d^2 ≤24/25
所以15/4≤4(1-d^2) ≤96/25
所以15/4≤t^2 ≤96/25
因为t >0
所以√15/4≤t ≤4√6/5
即直线l:mx+ny=1被圆:x^2+y^2=1所截得的弦长的取值范围为[√15/4 , 4√6/5]
希望能帮到你^0^
即 d=1/√(m^2+n^2) 且有(t/2)^2+d^2=1所以t^2=4(1-d^2)
因为点P(m,n)是椭圆x^2/25+y^2/16=1上的一动点, a=5,b=4,
因此4≤√(m^2+n^2) ≤5
所以1/5≤1/√(m^2+n^2) ≤1/4
即1/5≤d ≤1/4
所以1/25≤d^2 ≤1/16
所以-1/16≤-d^2 ≤-1/25
所以15/16≤1-d^2 ≤24/25
所以15/4≤4(1-d^2) ≤96/25
所以15/4≤t^2 ≤96/25
因为t >0
所以√15/4≤t ≤4√6/5
即直线l:mx+ny=1被圆:x^2+y^2=1所截得的弦长的取值范围为[√15/4 , 4√6/5]
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