平面直角坐标系xoy中,直线L与抛物线y^2=4x交于不同的A、B两点如果：向量OA乘向量OB=-4,证明直线L必过一

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/05 01:45:16

平面直角坐标系xoy中,直线L与抛物线y^2=4x交于不同的A、B两点如果：向量OA乘向量OB=-4,证明直线L必过一
平面直角坐标系xoy中,直线L与抛物线y^2=4x交于不同的A、B两点
如果：向量OA乘向量OB=-4,证明直线L必过一定点,并求出该点的坐标

设A(x1,y1),B(x2,y2)
直线L的斜率不为0
则设直线为x=my+t
(注意,此种设法可以避免分类讨论,即讨论直线的斜率是否存在.)
与抛物线方程y^2=4x联立,
即将直线代入抛物线方程.
则 y²=4(my+t)
∴ y²-4my-4t=0
利用韦达定理
则 y1+y2=4m,y1*y2=-4t
∴ x1*x2=(4x1*4x2)/16=(y1²*y2²)/16=t²
∵ 向量OA乘向量OB=-4
∴ x1x2+y1y2=-4
∴ t²-4t=-4
∴ t²-4t+4=0
∴ (t-2)²=0
∴ t=2
即直线方程为x=my+2
∴ 直线L恒过一个定点,这个定点的坐标是(2,0)
再问：确定吗？明天对过答案后再说
再答：确定啊。你看看答案吧，有问题继续追问。
再问：再问一下，能用参数方程解答一下吗？我提高悬赏了
再答：用参数方程倒是简单，感谢提醒。设A(t1²，2t1),B(t2²,2t2) 则t1²*t2²+4t1t2=-4 ∴ (t1t2+2)²=0 ∴ t1t2=-2 k(AB)=2(t1-t2)/(t1²-t2²)=2/(t1+t2) ∴ AB方程 y-2t2=[2/(t1+t2)]*(x-t2²) ∴ y=[2/(t1+t2)]x+2t1t2/(t1+t2) ∴ y=[2/(t1+t2)]x-4/(t1+t2) ∴ x=2时，y=0 ∴ 直线恒过点(2,0)
再问：非常感谢！！！好几天没来了，差点忘记采纳了O(∩_∩)O谢谢，我会给你补偿的

平面直角坐标系xoy中,直线L与抛物线y^2=4x交于不同的A、B两点 如果：向量OA乘向量OB=-4,证明直线L必过一

平面直角坐标系xoy中,直线L与抛物线y^2=4x交于不同的A、B两点如果：向量OA乘向量OB=-4,证明直线L必过一