求教线性代数T^T关于相似对角型的问题,请问为啥n阶矩阵A与对角阵相似的充要条件是A有n个线性无关的特征向量?请问为啥A

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/16 08:24:39

求教线性代数T^T关于相似对角型的问题,请问为啥n阶矩阵A与对角阵相似的充要条件是A有n个线性无关的特征向量?请问为啥A=pcp的逆（c为A的对角阵）中p等于A的特征向量的列排列?

【相似定义】
设A和B都是n阶矩阵,如果存在可逆矩阵P,使得P-1AP=B,则称矩阵A和B相似.如果B是对角矩阵,那么A可对角化.
P-1AP=B,即AP=PB ,
设P=（α1,α2,…,αn） B为对角阵
B=
λ1 0 0……0
0 λ2 0……0
………………
0 0 0 ……λn
那么AP=PB即为AP=（Aα1,Aα2,…,Aαn）=PB=（λ1α1,λ2α2,…,λnαn）
那么Aα1=λ1α1,Aα2=λ2α2,……,Aαn=λnαn
也就是说P的列向量是A的特征向量.
当P秩r（P）=n时,可逆,也就是α1,α2,…,αn向量线性无关,AP=PB 可推出P-1AP=B,
此时A与B相似,A的特征值就是B的特征值,A的特征值向量就是P的列向量.
求教线性代数T^T关于相似对角型的问题,请问为啥n阶矩阵A与对角阵相似的充要条件是A有n个线性无关的特征向量?请问为啥A=pcp的逆（c为A的对角阵）中p等于A的特征向量的列排列?
【你的第1个问题】
如果A没有n个线性无关的特征向量,那么P不可逆,就一定不满足相似定义.
【你的第2个问题】
因为上面的计算AP=PB,Aα1=λ1α1,Aα2=λ2α2,……,Aαn=λnαn
所以P就是A的列向量,而且与B的特征值相对应.
newmanhero 2015年1月15日19:32:24
希望对你有所帮助,望采纳.

线性代数中,如果矩阵A与一对角阵特征值相同,且二重特征值有两个线性无关的特征向量,能否说明A与对角阵相似?若矩阵B与对角线性代数高手进关于一个定理我无法理解n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是： A的每个特征值所对应的线性无光特征向量线性代数：n阶方阵A相似于对角矩阵的充分必要条件是A有n个（）? 关于线性代数的小问题若n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量,那么A的秩是n吗 n阶方阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是A有? [线性代数]有n个线性无关的特征向量的n阶矩阵,是否一定可以相似对角化 n阶方阵A有n个不同特征值是A与对角阵相似的什么条件? 设A是n阶方阵,A有n个不同的特征值是A与对角相似的?条件... n阶方阵与某一对角矩阵相似 A.方阵A的秩序等于n对不对 n阶矩阵A可以对角化的充要条件为A有n个线性无关特征向量,但同一特征值所对应的特征向量就是无穷个, n阶矩阵A的n次方等于单位矩阵,则A相似于对角矩阵关于线性代数的问题: 若一个矩阵A有n个线性无关的特征向量,跟矩阵的秩有什么关系呀?