用递推公式求通项公式

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/02 10:19:07

用递推公式求通项公式

特征方程为x^2=2cosα*x-1,解得x1=cosα+isinα,x2=cosα-isinα.于是当n≥1时,有
X(n+2)-(cosα+isinα)*X(n+1)=(cosα-isinα)*[X(n+1)-(cosα+isinα)*X(n)]=……
=(cosα-isinα)^n*[X2-(cosα+isinα)*X1]= (cosnα-isinnα)*(cos2α-isin2α) =cos(n+2)α-isin(n+2)α
比较上式两边的虚部,易得
-sinα*X(n+1)=-sin(n+2)α
则X(n+1)=sin(n+2)α/sinα
经验证,当n=0时,上式也满足.于是X(n)的通项公式为
X(n)=sin(n+1)α/sinα,n∈N.

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