搜搜考试网已知函数f(x)＝lnxx，
来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/26 00:38:17
已知函数f(x)＝
| lnx |
| x |
（1）定义域为（0，+∞），f′(x)＝
1−lnx
x2，令f′(x)＝
1−lnx
x2＝0，则x=e，
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
∴f（x）的单调增区间为（0，e）；单调减区间为（e，+∞）．
（2）由（1）知f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，所以，
当4a≤e时，即0＜a≤
e
4时，f（x）在[2a，4a]上单调递增，
∴f（x）min=f（2a）=
ln(2a)
2a；
当2a≥e时，即a≥
e
2f（x）在[2a，4a]上单调递减，∴f（x）min=f（4a）=
ln(4a)
4a
当2a＜e＜4a时，即
e
4＜a＜
e
2时，f（x）在[2a，e]上单调递增，f（x）在[e，4a]上单调递减，
∴f（x）min=min{f（2a），f（4a）}．下面比较f（2a），f（4a）的大小，
∵f(2a)−f(4a)＝
lna
4a，
∴若
e
4＜a≤1，则f（a）-f（2a）≤0，此时f(x)min＝f(2a)＝
ln2a
2a；
若1＜a＜
e
2，则f（a）-f（2a）＞0，此时f(x)min＝f(4a)＝
ln4a
4a；
综上得：当0＜a≤1时，f(x)min＝f(2a)＝
ln2a
2a；
当a＞1时，f(x)min＝f(4a)＝
ln4a
4a．
1−lnx
x2，令f′(x)＝
1−lnx
x2＝0，则x=e，
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
∴f（x）的单调增区间为（0，e）；单调减区间为（e，+∞）．
（2）由（1）知f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，所以，
当4a≤e时，即0＜a≤
e
4时，f（x）在[2a，4a]上单调递增，
∴f（x）min=f（2a）=
ln(2a)
2a；
当2a≥e时，即a≥
e
2f（x）在[2a，4a]上单调递减，∴f（x）min=f（4a）=
ln(4a)
4a
当2a＜e＜4a时，即
e
4＜a＜
e
2时，f（x）在[2a，e]上单调递增，f（x）在[e，4a]上单调递减，
∴f（x）min=min{f（2a），f（4a）}．下面比较f（2a），f（4a）的大小，
∵f(2a)−f(4a)＝
lna
4a，
∴若
e
4＜a≤1，则f（a）-f（2a）≤0，此时f(x)min＝f(2a)＝
ln2a
2a；
若1＜a＜
e
2，则f（a）-f（2a）＞0，此时f(x)min＝f(4a)＝
ln4a
4a；
综上得：当0＜a≤1时，f(x)min＝f(2a)＝
ln2a
2a；
当a＞1时，f(x)min＝f(4a)＝
ln4a
4a．