（1）是否存在正整数m，n，使得m（m+2）=n（n+1）？

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/05 06:52:28

（1）是否存在正整数m，n，使得m（m+2）=n（n+1）？
（2）设k（k≥3）是给定的正整数，是否存在正整数m，n，使得m（m+k）=n（n+1）？

（1）答案是否定的．若存在正整数m，n，使得m（m+2）=n（n+1），则（m+1）²=n²+n+1，显然n＞1，于是n²＜n²+n+1＜（n+1）²，所以，n²+n+1不是平方数，矛盾．（5分）
（2）当k=3时，若存在正整数m，n，满足m（m+3）=n（n+1），则4m²+12m=4n²+4n，（2m+3）²=（2n+1）²+8，（2m+3-2n-1）（2m+3+2n+1）=8，（m-n+1）（m+n+2）=2，而m+n+2＞2，故上式不可能成立．（10分）
当k≥4时，若k=2t（t是不小于2的整数）为偶数，取m=t²-t，n=t²-1则m（m+k）=（t²-t）（t²+t）=t⁴-t²，
n（n+1）=（t²-1）t²=t⁴-t²，因此这样的（m，n）满足条件．若k=2t+1（t是不小于2的整数）为奇数，取
m=
t2−t
2，n=
t2+t−2
2则m（m+k）=
t2−t
2（
t2−t
2+2t+1）=
1
4（t⁴+2t³-t²-2t），n（n+1）=
t2+t−2
2 •
t2+t
2=
1
4（t⁴+2t³-t²-2t），因此这样的（m，n）满足条件．综上所述，当k=3时，答案是否定的；当k≥4时，答案是肯定的．
（15分）

是否存在正整数m，n，使得m（m+2）=n（n+1）？（1）是否存在正整数m，n，使得m（m+2）=n（n+1）？是否存在大于1的正整数m,使得f(n)=(2n+7)·3^n+9对任意正整数n都能被m整除? 是否存在正整数m，使得f（n）=（2n+7）•3n+9对任意正整数n都能被m整除？若存在，求出最大的m值，并证明你的结论数论的,求所有的正整数对（m,n）,m>=3,n>=3,使得存在无穷多个正整数a,(a^m+a-1)/(a^n+a^2- 是否存在正整数m,使得f(n)=(2n+7)*3^n+9对任意自然数n都能被m整除.若存在,求出最大的m值 1.是否存在大于1的正整m数使得f(n)=n^3+5n对任意正整数n都能被m整除? 归纳猜想论证是否存在大于1的正整数m,使得f(n)=(2n+7)*3^n+1对任意正整数n都能被m整除?若存在,求出设等差数列｛an｝的前n项和为Sn,若存在正整数m,n（m＜n）,使得Sm=Sn,则Sm+n=0 f（x）=2-[2/(2^x+1)]是否存在实数m,n,使得函数y=f(x)的定义域和值域都为[m,n],若存在,求出m 是否存在整数m,n使得m^2=n^2+2010?请说明理由 m,n,(2m-1)/n,(2n-1)/m为正整数,m,n>=2.求m,n