设a.b.c.d为正实数,a

先作代换a=x^2/yz,b=y^2/zx,c=z^2/xy,等价于∑xyz/(xyz+y^3+z^3)≤∑yz/(2yz+x^2)x/∑x-xyz/(xyz+y^3+z^3)=x(y+z)*(y-z

证明：a^2/b+b^2/c+c^2/d+d^2/a=(a^2/b)+(b^2/c+c^2/d+d^2/a)≥(a^2/b)+(b+c+d)^2/(c+d+a)(柯西不等式）=a^2/b+(4-a)^

先证明对x,y>0,有1/(1+x)^2+1/(1+y)^2>=1/(1+xy)证：上式等价于(1+xy)(1+y)^2+(1+xy)(1+x)^2>=(1+x)^2(1+y)^21+xy^3+x^3

a/b>(a+d)/(b+d)>(b+c)/(a+c)>b/a

解法参见图片

证明：假设a+1b，b+1c，c+1a都小于2，则(a+1b)+(b+1c)+(c+1a)＜6．∵a、b、c∈R+，∴(a+1b)+(b+1c)+(c+1a)=(a+1a)+(b+1b)+(c+1c)

方法一、直接用基本不等式：对于正数x、y,有：x+y≥2√xy,则：(ab+cd)(ac+bd)≥2√(abcd)×2√(acbd)=4abcd方法二、由柯西不等式,得：(ab+cd)(ac+bd)≥

证明：因为为正实数,由平均不等式可得1／a+1／b+1／c≥3倍三次根号下1／a*1／b*1／c即1／a+1／b+1／c≥3／abc∴1／a+1／b+1／c+abc≥3／abc+abc又3／abc+a

(1/(3a^3)+1/(3b^3)+1/(3c^3))/3>=三次根号(1/(3a^3)*1/(3b^3)*1/(3c^3))=1/(3abc)1/(3a^3)+1/(3b^3)+1/(3c^3)>

(a+b)+c≥2√(a+b)ca+b+c)^2≥4(a+b)c（a+b+c)(1/(a+b)+1/c)=(a+b+c)((a+b+c)/c(a+b))=(a+b+c)^2/c(a+b)≥4(a+b)

充分必要条件.

证明：a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)=(a+b+c)/(b+c)-1+(a+b+c)/(b+c)-1+(a+b+c)/(a+c)-1=(a+b+c)(1/(b+c)+1/(a+c)+1

【证法1】左边=c/(a+b)+1+a/(b+c)+1+b/(c+a)+1-3=(a+b+c)/(a+b)+(a+b+c)/(b+c)+(a+b+c)/(c+a)-3=(a+b+c)[1/(a+b)+

由柯西不等式,有：P^2≦（1^2＋1^2＋1^2）［（3a＋1）＋（3b＋1）＋（3c＋1）＋（3d＋1）］,又a＋b＋c＋d＝1,∴P^2≦3×［3（a＋b＋c＋d）＋4］＝3×（3＋4）＝21＜

证明a,b,c,d为正实数（ab+cd）（ac+bd）=[(√ab)^2+(√cd)^2][(√ac)^2(√bd)^2]≥(√ab√ac+√cd√bd)^2=bc（a+d）^2=bc(a^2+d^2

a^5+b^5+c^5>=a^3bc+b^3ac+c^3ab即证a^4/bc+b^4/ac+c^4/bc>=a^2+b^2+c^2(ab+bc+ac)(a^4/bc+b^4/ac+c^4/bc)=a^

由均值不等式：a+b≥2√ab及平方均值不等式：（a²+b²)/2≥[(a+b)/2]²得：(a²+b²)/(2c)+c≥2√(a²+b&#

设a、b、c均为正实数,求证：1/2a+1/2b+1/2c≥1/(b+c)+1/(c+a)+1/(a+b)1/4a+1/4b=(a+b)/4ab≥(a+b)/(a+b)^2=1/(a+b)同理1/4b

令a=x/y,b=y/z,c=z/x那么原不等式等价于证(x+z-y)(y+z-x)(x+y-z)≤xyz若x+z-y,y+z-x,x+y-z有一个不大于0,不妨设x+y≤z,那么y+z-x≥y+x+

因为a/b>c/d所以a/b-c/d>0(ad-cb)/bd>0又因为a,b,c,d都>0所以ad-cb>0因此ad>cbM=[b(c+d)-d(a+b)]/(a+b)(c+d)=(bc+bd-ad-