一道物理题,请大家帮帮忙

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/30 01:00:30

一道物理题,请大家帮帮忙
一艘正在行驶的汽艇,在发动机关闭后,有一个与它速度方向相反的加速度,其大小与它的速度平方成正比,即dv/dt=-kv^2,式中k为常数,试证明汽艇在关闭发动机后又行驶x距离时的速度为v=v0e^-(kx),其中v0是发动机关闭时的速度

证：
由　dv / dt＝－K V^2
得　dV / V^2＝－K dt
两边积分,得　（－1 / V）＝－K t＋C1　,C1是积分常数
由初始条件：t＝0时,V＝V0,得　C1＝（－1 / V0）
所以　（－1 / V）＝－K t＋（－1 / V0）
即　V＝V0 /（K*V0* t ＋1）　.方程1
又由　V＝dX / dt　得
dX / dt＝V0 /（K*V0* t ＋1）
dX ＝ V0 * dt /（K*V0* t ＋1）
K dX ＝d(K*V0*t) /（K*V0* t ＋1）
K dX ＝d(K*V0*t＋1) /（K*V0* t ＋1）
两边积分,得
K* X＝[ ln（K*V0* t ＋1）]＋C2　,C2是积分常数
由初始条件：t＝0时,X＝0　,得　C2＝0
所以　K* X＝ ln（K*V0* t ＋1）.方程2
将方程1和2联立,消去 t ,得
K* X＝ ln（V0 / V）
即　V0 / V＝e^（K*X）
V＝V0 / [ e^（K*X）]
V＝V0 e^（－K*X）　　　证毕

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