把积分化为极坐标形式

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/01 15:45:35

把积分化为极坐标形式

积分域D：由直线y=x,x=a,及x轴所围得平面域；将此平面域换成极坐标形式,则是：
0≦r≦a/cosθ,0≦θ≦π/4；
故原式=【0,π/4】∫dθ【0,a/cosθ】∫r²dr=【0,π/4】∫dθ[r³/3]【0,a/cosθ】
=【0,π/4】(a³/3)∫(1/cos³θ)dθ=【0,π/4】(a³/3)∫sec³dθ=【0,π/4】(a³/3)∫secθd(tanθ)
=【0,π/4】(a³/3)[secθtanθ-∫tanθd(secθ)]=【0,π/4】(a³/3)[secθtanθ-∫secθtan²θdθ]
=【0,π/4】(a³/3)[secθtanθ-∫secθ(sec²θ-1)dθ=【0,π/4】(a³/3)[secθtanθ-∫sec³θdθ+∫secθdθ]
【移项,得：】
【0,π/4】(2a³/3)∫sec³dθ=【0,π/4】(a³/3)[secθtanθ+∫secθdθ]
=(a³/3)[secθtanθ+ln(secθ+tanθ)]【0,π/4】=(a³/3)[√2+ln(√2+1)]
故原式=【0,π/4】(a³/3)∫sec³dθ=(a³/6)[√2+ln(√2+1)]

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