f(X)是定义在R上的奇函数,且f(10+x)=f(x)+f(5-x),则f(2010)=?

f(X)是定义在R上的奇函数,且f(10+x)=f(x)+f(5-x),则f(2010)=?

简洁版：
因为f(X)定义在R上,且f(10+x)=f(x)+f(5-x),
用5-x代替x得f(15-x)=f(5-x)+f(x)
所以f(10+x)=f(x)+f(5-x)=f(15-x)对于所有的x属于R都成立
再用x-10代替等式中的x 得到f(x)=f(25-x)
再用x-25代替等式中的x 可得f(x-25)=f(50-x),
所以f(x)=f(25-x)=-f(x-25)=-f(50-x)=f(x-50)
我们可得这个函数的周期是50.
所以f(2010)=f(40*50+10)=f(10).
又因为f(10+x)=f(x)+f(5-x)
令x=0,可得f(10)=f(0)+f(5)=f(5) （f(0)=0因为f(X)是定义在R上的奇函数）
令x=-5,可得f(5)=f(-5)+f(10),所以f(10)=2f(5)
所以f(2010)=f(10)=f(5)=0.
详细过程版：
因为f(X)定义在R上,且f(10+x)=f(x)+f(5-x),
令x=5-y,f(10+5-y)=f(5-y)+f(y)对于所以的y属于R都成立（）
在将y用x来代替,所以f(15-x)=f(5-x)+f(x)对于所有的x属于R都成立 （这里有点不好理解）
所以f(10+x)=f(x)+f(5-x)=f(15-x)对于所有的x属于R都成立
再在f(10+x)=f(15-x)中用x-10代替等式中的x （省略了通过y中转这一步）
所以得到f(x)=f(25-x)
在用x-25代替等式中的x
可得f(x-25)=f(50-x)
又因为f(X)是定义在R上的奇函数,所以f(x-25)=-f(25-x)和f(50-x)=-f(x-50)
所以f(25-x)=f(x-50)
所以f(x-50)=f(x).
我们可得这个函数的周期是50.
所以f(2010)=f(40*50+10)=f(10).
又因为f(10+x)=f(x)+f(5-x)
令x=0,可得f(10)=f(0)+f(5)
因为f(X)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,所以f(10)=f(5)
令x=-5,可得f(5)=f(-5)+f(10),所以f(10)=f(5)-f(-5)=f(5)+f(5)=2f(5)
所以f(5)=2f(5)
所以f(5)=0.
所以f(10)=0
所以f(2010)=0.
若对我的问题有任何疑问,可以使用百度HI我~
我一定会尽快回复的!
再问： 周期应该还可以继续化简吧，听老师讲用-5-x代换x,可以推出f(5-x)=f(-5-x)+f(x+10),f(X)=f(x+5),T=5.像这种赋值求周期，有没有快捷的方法，是否可以从中间量突破？谢谢！
再答： 你说的对，我的方法确实不如你的老师说的方法好，实在对不起了。 可以用-5-x代换x，得到f(5-x)=f(-5-x)+f(10+x), 所以f(10+x)=f(5-x)-f(-5-x)=f(x)+f(5-x) 所以f(x)=-f(-5-x)=f（5+x） 所以T=5. 再次道歉。 这是一道好题，如果我遇到这种填空或者选择题时，我会先求出f（5），f（10），然后基本就可以猜出他的周期。 如果是一般大题的话，关键在于为什么选择用-5-x代换x，因为这样代换之后，前后有两个式子是一样的，分别是f(10+x)和f(5-x)，所以可以得到抵消，下次若再遇上类似的题目，你也可以用这种方法去凑。这样说，明白了么？