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来源：学生作业帮 编辑：搜搜考试网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/06 07:44:47
解题思路： 本题先通过对函数求导，求其极值，进而在求其最值及值域，用到分类讨论的思想方法．
解题过程：
解：（1）易知f（x）定义域为（0，+∞），
当a=-1时，f（x）=-x+lnx，f′（x）=-1+1/x=(1-x)/x，令f′（x）=0，得x=1． 当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0．
∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数
f（x）max=f（1）=-1
∴函数f（x）在（0，+∞）上的最大值为-1．
（2）∵f′（x）=a+1/x，x∈（0，e]，1/x∈[1/e，+∞)…
①若a≥-1/e，则f′（x）≥0，从而f（x）在（0，e]上增函数
∴f（x）max=f（e）=ae+1≥0．不合题意
②若a＜-1/e，则由f′（x）＞0⇒a+1/x＞0，即0＜x＜-1/a
由f′（x）＜0⇒a+1/x＜0，即-1/a＜x≤e．
从而f（x）在(0，-1/a)上增函数，在(-1/a，e)为减函数
∴f（x）max=f(-1/a)=-1+ln(-1/a)…
令-1+ln(-1/a)=-3，则ln(-1/a)=-2(1/a)
∴-=e-2，即a=-e-2．∵-e-2＜-1/e，∴a=-e2为所求…
（3）由（1）知当a=-1时f（x）max=f（1）=-1，
∴|f（x）|≥1…
又令g（x）=lnx/x+1/2，g′（x）=(1-lnx)/x2，令g′（x）=0，得x=e，
当0＜x＜e时，g′（x）＞0，g（x） 在（0，e）单调递增；
当x＞e时，g′（x）＜0，g（x） 在（e，+∞）单调递减…
∴g（x）max=g（e）=1/e+1/2＜1，∴g（x）＜1…
∴|f（x）|＞g（x），即|f（x）|＞lnx/x+1/2…
∴方程|f（x）|=lnx/x+1/2没有实数解．…
最终答案：略
解题过程：
解：（1）易知f（x）定义域为（0，+∞），
当a=-1时，f（x）=-x+lnx，f′（x）=-1+1/x=(1-x)/x，令f′（x）=0，得x=1． 当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0．
∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数
f（x）max=f（1）=-1
∴函数f（x）在（0，+∞）上的最大值为-1．
（2）∵f′（x）=a+1/x，x∈（0，e]，1/x∈[1/e，+∞)…
①若a≥-1/e，则f′（x）≥0，从而f（x）在（0，e]上增函数
∴f（x）max=f（e）=ae+1≥0．不合题意
②若a＜-1/e，则由f′（x）＞0⇒a+1/x＞0，即0＜x＜-1/a
由f′（x）＜0⇒a+1/x＜0，即-1/a＜x≤e．
从而f（x）在(0，-1/a)上增函数，在(-1/a，e)为减函数
∴f（x）max=f(-1/a)=-1+ln(-1/a)…
令-1+ln(-1/a)=-3，则ln(-1/a)=-2(1/a)
∴-=e-2，即a=-e-2．∵-e-2＜-1/e，∴a=-e2为所求…
（3）由（1）知当a=-1时f（x）max=f（1）=-1，
∴|f（x）|≥1…
又令g（x）=lnx/x+1/2，g′（x）=(1-lnx)/x2，令g′（x）=0，得x=e，
当0＜x＜e时，g′（x）＞0，g（x） 在（0，e）单调递增；
当x＞e时，g′（x）＜0，g（x） 在（e，+∞）单调递减…
∴g（x）max=g（e）=1/e+1/2＜1，∴g（x）＜1…
∴|f（x）|＞g（x），即|f（x）|＞lnx/x+1/2…
∴方程|f（x）|=lnx/x+1/2没有实数解．…
最终答案：略