1-x 除以 1+（x的平方）的不定积分怎么求?

来源：学生作业帮编辑：搜搜考试网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/01 12:46:23

1-x 除以 1+（x的平方）的不定积分怎么求?
如果分成 1+（x的平方）分之一和 1+（x的平方）分之 -x 又怎么算

(1 - x)/(1 + x²)
= 1/(1 + x²) - x/(1 + x²)
∫ (1 - x)/(1 + x²) dx
= ∫ 1/(1 + x²) - x/(1 + x²) dx
根据方程式,
d/dx arc tan x = 1/(1 + x²)
arc tan x = ∫ 1/(1 + x²) dx
所以,
= ∫ 1/(1 + x²) - x/(1 + x²) dx
= arc tan x - (1/2)ln (1 + x²) + c,c为任何值.
或则,
让 x = tan θ,
dx = sec² θ dθ,
∫ 1/(1 + x²) dx - ∫ x/(1 + x²) dx
= ∫ 1/(1 + tan² θ)(sec² θ) dθ - (1/2)ln (1 + x²) + c
根据三角法则,
1 + tan² θ = sec² θ
所以,
= ∫ 1/(1 + tan² θ)(sec² θ) dθ - (1/2)ln (1 + x²) + c
= ∫ (sec² θ)/(sec² θ) dθ - (1/2)ln (1 + x²) + c
= ∫ dθ - (1/2)ln (1 + x²) + c
= θ - (1/2)ln (1 + x²) + c
= arc tan x - (1/2)ln (1 + x²) + c,c为任何值.
再问：为什么∫ x/(1 + x²) dx 等于 (1/2)ln (1 + x²) 啊？？？？困惑中
再答：根据方程式，
∫ 1/x dx = ln x
∫ [f'(x)]/[f(x)] dx = ln [f(x)]

所以，
f(x) = 1 + x²
f'(x) = 2x

∫ x/(1 + x²) dx

= (1/2) ∫ 2x/(1 + x²) dx
= (1/2) ln (1 + x²) + c
再问： ∫ [f'(x)]/[f(x)] dx = ln [f(x)]?????? ln [f(x)]求导不是f（X）分之一吗？怎么会是[f'(x)]/[f(x)] ？？∫x/(1 + x²) dx= (1/2) ∫ 2x/(1 + x²) dx= (1/2) ln (1 + x²) + c还是没看懂。。
再答：你看~
d/dx (ln x)
= 1/x
其实是 f(x) = x，f'(x) = 1的。

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